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ExponentialfunktionenKohlenstoff-Datierung

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Eine Gruppe von Archäologen hat in der ägyptischen Wüste ein neues Grab entdeckt. Vorsichtig öffnen sie den verborgenen Eingang, klettern durch mehrere mit antiken Schätzen gefüllte Räume, bis sie in der Grabkammer ankommen. Der Sarkophag ist immer noch versiegelt und enthält die Mumie eines Pharaos.

Nachdem sie alle Gegenstände in der Gruft katalogisiert und sorgfältig in ein nahe gelegenes Museum gebracht haben, versuchen sie, ihrer drängendsten Frage auf den Grund zu gehen: Wer ist dieser Pharao, und wann ist er gestorben?

Leider scheint keine der Zeichnungen und Inschriften an den Wänden des Grabes Namen oder Zeitangaben zu enthalten. Es gibt jedoch eine geniale Methode zur genauen Bestimmung des Alters von antiken Artefakten wie Mumien oder Fossilien, die sich ausschließlich auf Physik und Mathematik stützt: die Kohlenstoffdatierung.

Alle lebenden Organismen auf der Erde - Pflanzen, Tiere und Menschen - enthalten Kohlenstoffatome. Normalerweise besteht der Kern eines Kohlenstoffatoms aus sechs Protonen und sechs Neutronen, aber ein kleiner Teil der Kohlenstoffatome enthält zusätzliche Neutronen. Diese verschiedenen "Varianten" des Kohlenstoffs werden Isotope genannt:

Kohlenstoff-12
6 Protonen, 6 Neutronen
98,8%

Kohlenstoff-13
6 Protonen, 7 Neutronen
1,1%

Kohlenstoff-14
6 Protonen, 8 Neutronen
0,1%

Der Anteil, in dem diese Isotope vorkommen, ist fast überall auf der Erde nahezu gleich - und das wird später sehr wichtig sein. In unserem Beispiel sind wir besonders an Kohlenstoff-14 interessiert, das mit 14C abgekürzt wird. Er enthält 6 Protonen und 8 Neutronen und entsteht, wenn kosmische Strahlung aus dem Weltall auf Teilchen trifft, die sich hoch in unserer Atmosphäre befinden.

Jede Probe von Kohlenstoffatomen besteht zu % aus diesen speziellen 14C-Atomen. Man könnte meinen, das wäre eine unbedeutende Menge, aber dein Körper enthält etwa 8×1026 Kohlenstoffatome, was bedeutet, dass auch etwa 8×1023 Kohlenstoff-14 Atome dabei sind. Das sind fast eine Million Millionen Millionen Millionen Atome!

Kohlenstoff-14
6 Protonen
8 Neutronen

Kohlenstoff-14 ist nützlich, weil er radioaktiv ist. Das Atom ist instabil, und es könnte in andere, stabilere Elemente zerfallen. Wir sind tatsächlich von vielen radioaktiven Stoffen umgeben, aber ihre Konzentration ist nicht hoch genug, um gefährlich zu sein.

Während unseres Lebens, wenn wir essen und atmen, absorbiert unser Körper 14C Atome. Wenn wir sterben, hören wir auf, neue 14C-Atome zu absorbieren, und diejenigen, die sich bereits in unserem Körper befinden, beginnen .

Alle radioaktiven Elemente zerfallen mit einer sehr vorhersagbaren Geschwindigkeit - diese wird durch ihre Halbwertszeit bestimmt. Kohlenstoff-14 zum Beispiel hat eine Halbwertszeit von etwa 6.000 Jahren. Das bedeutet, dass es bei einem Brocken aus 14C-Atomen 6.000 Jahre dauert, bis die Hälfte davon zerfällt. Nach weiteren 6.000 Jahren wird die Hälfte der verbleibenden Atome ebenfalls zerfallen sein, so dass nur noch der ursprünglichen Menge übrig bleibt.

Nehmen wir an, wir beginnen mit einem Brocken aus 1.200 Kohlenstoff-14 Atomen. Mit Hilfe der Halbwertszeit können wir die verbleibende Menge von 14C-Atomen über die Zeit berechnen:

Jahre0600012 00018 00024 000
Menge1200

Wie du sehen kannst, multiplizieren wir bei jedem Schritt mit 12, genau wie bei einer -Folge.

Mit Hilfe von Exponenten können wir eine Gleichung für die nach t Jahren verbleibende Menge aufstellen:

Menge=1200×12t6000

Natürlich waren 1200 und 6000 nur willkürlich gewählte Zahlen. Eine allgemeinere Gleichung lautet:

Menge=Anfangsmenge×12tHalbwertszeit

  • Mit Hilfe der Rechenregeln für Exponenten können wir den Bruch 12 in eine 2 umkehren, wenn wir den Exponenten mit 1 multiplizieren.
  • Diese Gleichung beschreibt, wie viele Atome nach t Jahren übrig sind.

Da die Gleichung einen Exponenten enthält und die Anzahl der Atome abnimmt, nennen wir diesen Prozess exponentiellen Zerfall.

Wir können die Menge von 14C Atomen über die Zeit in einem Koordinatensystem darstellen. Wenn wir mit einer Anfangsmenge von ${format(x0)} Atomen beginnen und die Halbwertszeit ${format(hl)} Jahre beträgt, sieht der Zerfall so aus:

Die Punkte auf dem Diagramm zeigen, wann sich die Anzahl der Atome halbiert hat. Beachte, dass wir die verbleibende Anzahl von Atomen zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnen können, nicht nur für diese spezifische Intervalle. Das ist der Hauptunterschied im Vergleich zu geometrischen Folgen.

Der Zerfall radioaktiver Atome ist zufällig, und es ist unmöglich, vorherzusagen, wann genau ein bestimmtes 14C zerfallen wird. Die Grafik zeigt die durchschnittliche Anzahl von Atomen, die wir zu einem bestimmten Zeitpunkt voraussichtlich noch übrig haben. Das ist auch der Grund dafür, dass die verbleibende Anzahl von Atomen nicht immer eine ganze Zahl ist - auch wenn man nicht "ein halbes Atom" haben kann. Mehr dazu erfährst du in unserem Kurs über Wahrscheinlichkeit.

Jetzt verfügen wir über alle Informationen, die wir benötigen, um das Alter des Pharaos zu bestimmen. Die Archäologen beschlossen, eine winzige Probe aus der Haut der Mumie herauszuschneiden. Mit Hilfe einer aufwendigen Apparatur, einem so genannten Massenspektrometer, konnten sie die Anzahl der 12C und 14C Atome in der Probe "zählen".

In unserem Beispiel fanden sie 800 Kohlenstoff-14-Atome. Unter Berücksichtigung des Verhältnisses von 12C zu 14C Atomen, schätzten sie, dass dieselbe Probe 1200 14C Atome hätte enthalten müssen, als der Pharao noch lebte.

Beschleuniger-Massenspektrometer in der Radiokohlenstoff-Beschleuniger-Einheit von Oxford

Jetzt müssen wir nur noch berechnen, wie lange es dauert, bis diese 400 fehlenden 14C-Atome zerfallen. Diese Zahl ist genau .

Wir können die oben gefundene Gleichung verwenden und die erforderlichen Parameter einfügen:

×2t=

  • Trage die drei Parameter von oben ein!
  • Lass uns damit beginnen, beide Seiten der Gleichung durch 1200 zu teilen.
  • Wir berechnen den Dezimalwert des Bruchteils auf der rechten Seite der Gleichung.
  • Nun müssen wir uns mit dem Exponenten auf der linken Seite befassen. Dazu können wir eine spezielle Funktion namens Logarithmus verwenden, über die du später mehr erfahren wirst.
  • Mit einem Taschenrechner können wir den Wert von log20.667 ermitteln.
  • Der Rest sollte einfach sein: Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 6000.
  • Wir können die rechte Seite der Gleichung vereinfachen.
  • Wir können auch das - Zeichen auf beiden Seiten der Gleichung entfernen.
  • Wir sehen also, dass es 3510 Jahre dauert, bis die erforderliche Anzahl von 14C-Atomen zerfällt.

Das bedeutet, dass der Pharao vor etwa 3510 Jahren oder v. Chr. gestorben ist. Dieser Zeitraum war der Beginn des Neuen Reichs in der ägyptischen Geschichte: ein "goldenes Zeitalter", das den Höhepunkt der Macht Ägyptens markierte. Und alles, was wir brauchten, war ein winziges Stück Hautgewebe, zusammen mit cleverer Mathematik!

Geologen und Biologen können die gleiche Methode verwenden, um das Alter von Fossilien zu bestimmen. Das hilft ihnen zu verstehen, wann bestimmte Gesteinsschichten in unserer Erdkruste entstanden sind, oder wie die evolutionäre Abstammungslinie zwischen ausgestorbenen Tieren verläuft.

Die Kohlenstoffdatierung wurde in den späten 1940er Jahren an der Universität von Chicago von Willard Libby entwickelt, der 1960 den Nobelpreis für Chemie für seine Arbeit erhielt. Sie ist zu einer unverzichtbaren Methode in vielen Bereichen der Wissenschaft geworden.

Beachte, dass wir den Prozess der Kohlenstoffdatierung in diesem Kapitel stark vereinfacht haben. Es gibt noch viele andere Dinge zu berücksichtigen, wie z.B. die Verschmutzung von Proben oder wie sich die Konzentration von Kohlenstoff-14 in unserer Atmosphäre im Laufe der Zeit verändert hat.