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Quadratische GleichungenEinführung

Lesezeit: ~15 min

Willkommen bei SkateSum, einer kleinen Firma, die Skateboards herstellt. Die Ingenieure haben an einem brandneuen Modell, dem SquareBoard, gearbeitet, das nun endlich serienreif ist. Du wurdest damit beauftragt, den optimalen Weiterverkaufspreis für die Skateboards zu finden - und es stellt sich heraus, dass der Bau der Skateboards nicht billig ist:

  • Die für den Bau von Skateboards erforderlichen Werkzeuge und Maschinen kosten 5.000 €. Man bezeichnet das oft als Fixkosten.
  • Jedes Skateboard kostet zusätzlich 30 € für Holz, andere Materialien und das Gehalt der Angestellten. Das bezeichnet man oft als variable Kosten.

Mit anderen Worten, die Kosten für die Herstellung von n Skateboards betragen

Kosten = .

Die neuen Skateboards werden mit Spannung erwartet, aber wenn der Preis zu hoch ist, werden weniger Menschen tatsächlich eines kaufen. Wir können dies in einem Graphen darstellen, in dem der Preis eines Skateboards auf der x-Achse und die entsprechende Anzahl von Menschen, die ein Skateboard kaufen wollen (die Nachfrage) auf der y-Achse dargestellt wird.

Welches dieser Diagramme ist für das Verhältnis zwischen Preis und Nachfrage am sinnvollsten?

Ein höherer Preis bedeutet, dass weniger Menschen ein Skateboard kaufen wollen, so dass sich der Graph der Funktion nach unten bewegen muss. Nach einigen Marktforschungen kamen die Ökonomen zu folgender Gleichung:

Nachfrage = 2800 - 15 × Preis

Wenn zum Beispiel ein Skateboard 80 € kostet, wird die Nachfrage bei Einheiten liegen.

Der Umsatz unseres Unternehmens sind die Gesamteinnahmen, die wir erzielen. Er ergibt sich aus der Anzahl der verkauften Skateboards (die Nachfrage) multipliziert mit dem Stückpreis:

Umsatz = Nachfrage × Preis

Aber die Zahl, an der wir mehr interessiert sind, ist unser Gewinn: die Einnahmen, die wir durch den Verkauf von Skateboards erzielen, abzüglich der Kosten für deren Herstellung. Kannst du eine Gleichung finden, die unseren Gewinn in Abhängigkeit des Preises ausdrückt?

Gewinn=UmsatzKosten
=

Beachte, dass diese Gleichung sowohl den Preis als auch den Preis2 enthält. Man nennt das eine quadratische Gleichung, benannt nach dem lateinischen Wort "quadratus" für Quadrat.

Um herauszufinden, wie wir unseren Gewinn maximieren können, wollen wir den Gewinn für ein paar verschiedene Preise berechnen:

Preis/€20406080100120140160180
Gewinn/€–30k17kkkkk72k47k10k

Jetzt können wir all diese Punkte in einem Koordinatensystem darstellen und sie miteinander verbinden:

Du erinnerst dich sicher daran, dass der Graph einer linearen Funktion immer eine gerade Linie ist. Aber wie du oben gesehen hast, ist der Graph einer quadratischen Funktion gekrümmt. Er hat sogar einen eigenen Namen: eine Parabel.

Wenn der Preis 0 ist, ist unser Gewinn negativ, weil wir dann ja einfach nur teure Skateboards verschenken. Wenn die Preise steigen, steigen auch unsere Gewinne. Wenn die Skateboards jedoch zu teuer werden, wollen die Leute sie nicht mehr kaufen, und unser Gewinn sinkt wieder.

Wir können unseren Gewinn maximieren, indem wir die Skateboards zu Preisen von etwa € anbieten.

In Wirklichkeit kann es für Unternehmen sehr schwierig sein, eine genaue Gleichung für ihren Gewinn aufzustellen - wahrscheinlich viel komplizierter als dieses Beispiel.

Wie auch immer, quadratische Gleichungen tauchen überall in der Natur, Technik und Wirtschaft auf. In diesem Kurs lernst du verschiedene Methoden kennen, um quadratische Gleichungen zu lösen und ihre Graphen zu verstehen.