Teilbarkeit und PrimzahlenDie Verteilung der Primzahlen

Der einfachste Weg, um zu überprüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, ist, sie durch alle kleineren natürlichen Zahlen zu teilen. Computer können das sehr schnell und effizient bewerkstelligen. Für sehr große Zahlen, mit Hunderten von Ziffern, gibt es auch effizientere Algorithmen. Einige von ihnen nutzen sogar die Wahrscheinlichkeitsrechnung, um festzustellen, ob eine Zahl mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit eine Primzahl ist.

Hier ist ein Taschenrechner, mit dem du überprüfen kannst, ob eine Zahl eine Primzahl ist:

Die Berechnung dieser großen Primzahlen mag wie Zeitverschwendung erscheinen, aber später in diesem Kurs wirst du mehr über verschiedene reale Anwendungen erfahren, bei denen Computer große Primzahlen verwenden müssen.

Hier kannst du deine eigenen Primzahlen mit einer gegebenen Anzahl von Ziffern generieren (beachte, dass die Kommas im Ergebnis im englischsprachigen Raum Tausendertrennzeichen sind):

Die Ulam-Spirale

Der polnische Mathematiker Stanisław Ulam entwickelte eine coole Methode, um die Verteilung großer Primzahlen zu zeigen, während er bei einem “langen und sehr langweiligen” Treffen 1963 herumkritzelte.

Wir notieren alle natürlichen Zahlen in einem rechteckigen Raster, beginnend mit 1 in der Mitte und gehen dabei spiralförmig nach außen. Dann markieren wir alle Primzahlen.

Bisher sieht die Ulam-Spirale nicht besonders aufregend aus. Aber wenn wir herauszoomen, entstehen interessante Muster. Hier sind die Primzahlen bis zu 160.000:

Die Goldbachsche Vermutung

1742 machte der deutsche Mathematiker Christian Goldbach eine seltsame Entdeckung: Er bemerkte, dass alle geraden Zahlen (außer 2) als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden können. Zum Beispiel 8 = 5 + 3 und 24 = 13 + 11. Das ist ziemlich überraschend, denn Primzahlen werden durch Multiplikation und Teiler definiert - und sollten nicht viel mit Addition zu tun haben.

Goldbach schrieb über seine Beobachtung in einem Brief an den berühmten Mathematiker Leonhard Euler, aber keiner von ihnen konnte sie beweisen. So wurde sie bekannt als die Goldbachsche Vermutung.

Computer haben überprüft, dass die Goldbachsche Vermutung für jede gerade Zahl bis zu 4 × 10¹⁸ gilt (das ist eine 4 mit 18 Nullen), aber Mathematiker haben immer noch keinen Beweis gefunden, dass sie für alle geraden Zahlen zutrifft. Und das ist ein großer Unterschied, denn es gibt unendlich viele gerade Zahlen, so dass wir nicht alle überprüfen können.

Ihre scheinbare Einfachheit machte die Goldbachsche Vermutung zu einem der berühmtesten ungelösten Probleme in der Mathematik.

Primzahlzwillinge

Wir haben bereits gesehen, dass Primzahlen mit zunehmender Größe immer weiter auseinanderliegen, aber sie scheinen immer völlig zufällig aufzutreten, und gelegentlich finden wir zwei Primzahlen direkt nebeneinander, nur eine Zahl auseinander: diese werden Primzahlzwillinge genannt.

35,1113,4143,101103,20272029,108.377108.379,1.523.6511.523.653

Das größte bekannte Paar von Primzahlzwillingen hat unglaubliche 58.711 Ziffern! Aber gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge, so wie es unendlich viele Primzahlen gibt? Niemand weiß es - die Primzahlzwillings-Vermutung ist eine weitere der vielen ungelösten Probleme rund um die Primzahlen.

Die Riemannsche Hypothese

Mathematiker haben viele Jahrhunderte damit verbracht, das Ordnungsmuster und die Verteilung von Primzahlen zu erforschen. Sie scheinen völlig zufällig aufzutreten - manchmal gibt es riesige Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen, und manchmal finden wir Primzahlzwillinge direkt nebeneinander.

Bereits im Alter von 15 Jahren hatte der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß eine bahnbrechende neue Idee: Er zählte die Anzahl der Primzahlen bis zu einem bestimmten Punkt und zeigte die Ergebnisse in einer Grafik an:

Entlang der x-Achse stehen alle natürlichen Zahlen. Wann immer eine eine Primzahl ist, erhöht sich die Primzahlzählfunktion (blau dargestellt) um eins. Wenn wir herauszoomen, verläuft die blaue Linie sehr glatt. Gauß bemerkte , dass die Form dieser Funktion der Funktion xlogx (rot dargestellt) sehr ähnlich sieht. Er sagte voraus, dass die beiden Funktionen immer “ungefähr gleich” sind, und das wurde 1896 bewiesen.

Wie du oben sehen kannst, gibt es jedoch immer noch einen deutlichen Fehler zwischen der tatsächlichen Anzahl der Primzahlen und der Näherung von Gauß. 1859 entdeckte der Mathematiker Bernhard Riemann eine Näherung, die viel besser aussah, aber er konnte nicht beweisen, dass sie immer gilt. Seine Idee wurde bekannt als die Riemannsche Hypothese.

Hunderte von Mathematikern haben versucht, Riemanns Hypothese zu beweisen, aber alle blieben ohne Erfolg. Sie wird oft als eines der schwierigsten und wichtigsten ungelösten Probleme in der Mathematik angesehen. Im Jahr 2000 nannte das Clay Mathematics Institute sie eines von sieben Millennium-Problemen und versprach 1.000.000 Dollar für jeden Mathematiker, der es löst.