Explodierende PunkteStufen zur Unendlichkeit

Im antiken Griechenland war Achilles einer der größten Helden und (fast) unverwundbar. Eines Tages wurde er zu einem Rennen herausgefordert … von einer Schildkröte!

Achilles wusste, dass er zehnmal so schnell laufen konnte wie die Schildkröte. Da er sehr siegessicher war, beschloss er, ihr einen Vorsprung von 100m zu geben.

Und das Rennen begann. In der Zeit, die Achilles brauchte, um die 100m-Marke zu erreichen, bewegte sich die Schildkröte um m weiter: sie war also jetzt bei 110m.

Als Achilles bei 110m ankam, hatte sich die Schildkröte um Meter weiter bewegt: sie war jetzt bei 111m.

Als Achilles die 111m-Marke erreichte, hatte sich die Schildkröte aber um 10cm fortbewegt.

Mit jedem Schritt nähert sich Achilles der Schildkröte. Aber da die Schildkröte sich immer weiter bewegt, erreicht er sie nie ganz. Und da er sie nicht überholen kann, gewinnt dann am Ende die Schildkröte das Rennen!

Offensichtlich muss in unserer Argumentation etwas schief gelaufen sein. Wir wissen natürlich, dass Achilles irgendwann die Schildkröte überholen wird. Aber, wenn man dieser Erzählung folgt ist es gar nicht einfach einen Punkt zu entdecken, an dem man sagen kann, dass da etwas nicht stimmt und alles ein Blödsinn ist.

Es stellt sich heraus, dass es in der Mathematik sehr gefährlich sein kann, "und so weiter, bis in alle Ewigkeit" zu sagen. Wenn es um etwas Unendliches geht, verhalten sich die Dinge meist ganz anders als es unser Gefühl vermuten lässt. In diesem Kurs wollen wir den Begriff der Unendlichkeit von unterschiedlichen Blickwinkeln aus betrachten.

Unser Zahlensystem

Nun - fast. Wie für jede Regel könnte es auch für diese einige Ausnahmen geben. Hier ist zum Beispiel eine uralte Frage, die von Schülern auf der ganzen Welt gestellt wird:

Ist 0,999999… gleich 1?

Das "…" bedeutet, dass unendlich viele 9er rechts vom Dezimalpunkt stehen. Wenn die Antwort auf diese Frage ja lautet, würde das bedeuten, dass es zwei völlig verschiedene Zahlen gibt, die eigentlich gleich sind. Was denkst du?

Wir werden das später in diesem Kurs beantworten - aber man könnte auch auf den Gedanken kommen, dass die ganze Frage etwas dubios klingt. Es gibt keine Möglichkeit, wie wir unendlich viele 9er wirklich aufschreiben könnten - es würde unendlich lange dauern. Wir müssen schummeln, indem wir drei Punkte machen und es unserer Vorstellungskraft überlassen, wie es weiter geht. Die Frage sollte also eigentlich so lauten:

Wenn wir irgendwie gottgleich wären und eine unendliche Zeichenfolge von 9ern schreiben könnten, würde das Ergebnis dann gleich 1 sein?

Da wir Menschen nicht gottgleich sind, könntest du der Ansicht sein, dass die Frage bedeutungslos ist. Aber was sollten wir mit dieser Antwort anfangen. Sie hilft uns nicht weiter - und jede neue Entdeckung beginnt bekanntlich mit der Frage "was wäre, wenn …"

Weiter

Als Menschen können wir immer nur eine endliche Anzahl von 9ern schreiben, wie zum Beispiel ${n}:

0.9 ist weniger als 1. 0.99 ist weniger als 1. 0.999 ist weniger als 1. 0.9999 ist weniger als 1. ${nines(n)} ist weniger als 1.

Jede dieser Näherungen ist kleiner alsgrößer alsgleich 1. Sie bilden eine Zahlenfolge, die auf der Zahlengeraden stetig nach rechts wandert und sich immer mehr der 1 nähert (ohne sie aber je ganz zu erreichen).

Beachte, dass die Zahlenfolge irgendwann so viel Platz einnimmt, wie du links von 1 hast. Wenn du zum Beispiel eine Näherung erreichen willst, die innerhalb von 1/${pow(x)} bei 1 liegt, würde schon ${nines(x)} genügen.

Anders ausgedrückt, der Abstand zwischen 0,999999… und 1 wäre unendlich klein und nicht vorhanden. Da diese Zahl jedenfalls auch niemals größer als 1 ist, können wir daraus ableiten, dass 0,999999… eigentlich gleich 1 sein muss.

Eine Punkt-Maschinen-Erklärung

Falls du mit dieser Erklärung nicht zufrieden bist, schauen wir uns doch einmal an, wie 0,9999… in einer 1←10-Maschine dargestellt werden würde:

Explodieren

Klicke irgendwo in das erste Dezimalfeld, um ein Punkt und Anti-Punkt-Paar zu erstellen. Dadurch wird die Zahl nicht verändert.

Klicke jetzt auf den Explodieren-Knopf, um die Zahl mit Hilfe der 1←10 Regel zu vereinfachen.

Das Gleiche machen wir nun mit dem zweiten Dezimalfeld. Füge zuerst ein Punkt/Anti-Punkt-Paar hinzu und drücke dann auf Explodieren. Beachte, wie sich das Punkt/Anti-Punkt-Paar gegenseitig aufhebt! Das wird Auslöschung genannt. Die sich ergebende Zahl hat sich nicht verändert und ist immer noch 0,9999… Fahre mit den verbleibenden Zellen fort.

Wenn wir ewig so weitermachen, dann sieht es so aus, als würden wir tatsächlich zeigen, dass 0,9999… das Gleiche ist wie 1,0000…!

Eine mathematische Erklärung

Wenn du immer noch nicht überzeugt bist, dann schauen wir uns zum Abschluss noch eine mathematische Erklärung an. Wenn wir uns einig sind, dass 0,9999… eine gültige Zahl ist (die 1 sein kann oder auch nicht), dann macht es Sinn anzunehmen, dass sie auch allen sonstigen, üblichen Regeln der Mathematik gehorcht.

1. Wir beginnen damit, dass wir dieser Zahl einen Namen geben. Wir nennen sie
   F
   für Friederike.:
   F

   = 0,9999…Weiter
2. Nun multipliziere sie mit 10. Das ergibt dann
   10

   F

   = 9,9999…Weiter
3. Subtrahiere die Gleichung aus Schritt 1 von der Gleichung aus Schritt 2. Da alle ihre Nachkommastellen gleich sind, heben sie sich einfach auf:
   9

   F

   = 9Weiter
4. Schließlich, wenn wir beide Seiten durch 9 teilen, erhalten wir
   F

   =

Erstaunlich! Aber wir sollten uns darüber klar sein, was wir hier herausgefunden haben. WENN man davon ausgeht, dass 0,9999… in der gängigen Mathematik eine sinnvolle Größe ist, DANN folgt daraus, dass diese Zahl gleich 1 ist. Das ist ein wichtiges Detail, denn dasselbe mathematische Argument kann zu philosophischen Problemen führen - wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden…