Explodierende PunkteAußergewöhnliche Zahlen

Im vorherigen Abschnitt haben wir uns eine Zahl mit unendlich vielen 9ern rechts vom Komma angesehen:

0,999999…

Jetzt wollen wir mal sehen, was passiert, wenn wir unendlich viele 9er links vom Komma hinzufügen:

…999999

Wenn wir davon ausgehen, dass es sich um eine gültige Zahl handelt (und nicht z.B. nur um "Unendlich"), können wir versuchen, dasselbe mathematische Argument wie vorher zu verwenden, um ihren Wert herauszufinden:

1. Fangen wir damit an, der Nummer einen Namen zu geben, sagen wir
   A
   für Arabella:
   A

   = …999999Weiter
2. Nun multipliziere sie mit 10. Damit erhalten wir
   10

   A

   = …999990Weiter
3. Beachte, dass
   A
   und 10
   A
   sich nur in der Endziffer unterscheiden. Wenn wir also die Gleichung in Schritt 1 von der Gleichung in Schritt 2 subtrahieren, erhalten wir
   9

   A

   = –9Weiter
4. Schließlich, wenn wir beide Seiten durch 9 teilen, erhalten wir
   A

   =

Mit anderen Worten, wir haben gerade gezeigt, dass …99999999 = -1 ist. Anscheinend, wenn wir einen Unendlichkeitsrechner zur Hand nehmen und die Summe von 9 + 90 + 900 + 9000 + … berechnen würden, wäre das Ergebnis also -1!

Glaubst du das wirklich?

Außergewöhnliche Mathematik

Auch wenn …999999999 eindeutig keine "normale" Zahl ist, nehmen wir zunächst einmal an, dass sie existiert und dass die Grundregeln der Mathematik für sie gelten. Wenn das der Fall ist, müssten wir also davon ausgehen, dass …9999999 + 1 = ist.

Schauen wir mit einer 1←10-Maschine nach, ob das tatsächlich der Fall ist. Klicke irgendwo in die 1er-Zelle, um 1 hinzuzufügen:

Sieht aus, als hätte das tatsächlich funktioniert! Wenn wir 1 zu …999999999 addieren, ist das Ergebnis 0.

Aber denk dran: Alles, was wir gezeigt haben, ist, dass WENN wir uns entschieden haben zu glauben, dass …99999999 eine sinnvolle Zahl ist, die unseren üblichen Gesetzen der Mathematik folgt, DANN muss sie den Wert -1 haben. Die meisten Leute sagen einfach, dass sie keine Zahl ist und hören an dieser Stelle auf - und das ist eine vollkommen zulässige Sichtweise.

Das wirft die Frage auf: Gibt es ein außergewöhnliches mathematisches System, für das …999999 eine sinnvolle Zahl ist?

Weiter

Eine außergewöhnliche Zahlengerade

Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, dass 0,99999999… = 1. Das ist ziemlich plausibel, denn die Abfolge der Näherungen 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 usw. nähert sich immer mehr der 1 an.

In diesem Beispiel geschieht genau das Gegenteil: die Zahlen 9, 99, 999, 9999, 9999 usw. entfernen sich immer weiter von -1. Deshalb ist es so abwegig zu glauben, dass …999999 möglicherweise gleich -1 sein könnte.

Weiter

Es stellt sich jedoch heraus, dass es möglich ist, ein neues arithmetisches System zu entwickeln, in dem Zahlen wie …999999 sinnvoll sind. Um das zu erreichen, müssen wir nur die Art und Weise ändern, wie wir den "Abstand" zwischen den Zahlen auf der Zahlengeraden messen.

Normalerweise wird Abstand durch Addition und Subtraktion definiert. Zum Beispiel ist der Abstand zwischen 2 und 6 gleich , denn 2+4=6.

Stattdessen können wir eine "andere Art" von Abstand definieren, indem wir Multiplikation und Division verwenden.

In der Welt der ganzen Zahlen ist 0 die am meisten teilbare Zahl von allen. Sie kann beliebig oft durch eine beliebige ganze Zahl geteilt werden und ergibt trotzdem ein ganzzahliges Ergebnis (nämlich 0). Wenn wir uns auf unsere Zahlenbasis von 10 konzentrieren, können wir sehen, dass 0 einmal oder zweimal oder siebenunddreißig Mal oder eine Million Mal durch 10 geteilt werden kann. Weiter

• Die Zahl 40 ist ein bisschen "null-artig", in dem Sinne, dass wir sie durch zehn teilen können und immer noch eine ganze Zahl bekommen.
• Die Zahl 1700 ist schon etwas null-artiger: sie kann zweimaldreimalviermal durch 10 geteilt werden, und ergibt immer noch eine ganze Zahl.
• Die Zahl 230.000 ist sogar noch null-artiger. Sie kann mal durch 10 geteilt werden und bleibt trotzdem eine ganze Zahl.
• Die Zahl 5 hingegen ist nicht sehr null-artig. Wir können sie nämlich keinmal durch zehn teilen, so dass sich eine ganze Zahl ergibt.

Wir können jetzt eine Abstandsformel erstellen, die darauf basiert, wie oft 10 "in" einer Zahl als Multiplikator "steckt". Wenn wir eine Zahl a maximal k mal durch zehn teilen können und dabei eine ganze Zahl erhalten, schreiben wir

azehn=110k

Zum Beispiel, 850zehn=1101=0,1 und 8500zehn=1102=0,01 und 850000zehn= .

Wir können auch den Abstand zwischen zwei beliebigen Zahlen messen. Zum Beispiel ist der Abstand zwischen 3 und 33 gleich 33−3zehn=30zehn=1101=0,1.

Mit dieser neuen Art, den Abstand zu messen, ist 1, 10, 100, 1000, … eine Zahlenfolge, die sich immer mehr Null1-1unendlich annähert. In ähnlicher Weise kommt 9, 99, 999, 9999, … immer näher an heran, so wie wir oben gesehen haben.

Mathematiker nennen diese Art der Betrachtungsweise der Abstände zwischen den nicht-negativen ganzen Zahlen 10-adische Arithmetik. Die Endung "adisch" bedeutet "eine Zählung von Operationen". Hier zählen wir Faktoren von zehn.

Negative Zahlen und Brüche

Wir haben bereits gesehen, dass unser neues, 10-adisches System negative ganze Zahlen unterstützt: …999999 = -1. Wir können etwas Ähnliches für andere negative Zahlen tun. Wie viel muss man zu …999998 addieren, um die Explosionen auszulösen?

Oder anders ausgedrückt: …999998 = . Ebenso können wir berechnen, dass …99999997 = , …999953 = , …999700 = -300 und so weiter. Jede negative ganze Zahl hat ein 10-adisches Äquivalent.

•

Etwas schwieriger ist es, 10-adische Brüche zu bilden. Sehen wir mal, was passiert, wenn wir ...6666667 mit 3 multiplizieren:

Multipliziere mit 3

Da …6666667 × 3 = , wissen wir, dass …6666667 = 13.

Es stellt sich heraus, dass es ein paar Brüche gibt, die in unserem 10-adischen Zahlensystem nicht ausgedrückt werden können: alle Brüche, die in ihrer gekürzten Form einen Nenner haben, der ein Vielfaches von 2 oder 5 (oder beides) ist. Du kannst das korrigieren, indem du den 10-adischen Zahlen erlaubst, eine endliche Anzahl von Dezimalstellen zu haben. Nun besitzt jede rationale Zahl ein 10-adisches Äquivalent.

Ein gravierender Schönheitsfehler

Wir haben jetzt gesehen, dass jede ganze Zahl, die ein Bruch ist, ein 10-adisches Äquivalent hat, und dass wir 10-adische Zahlen addieren, subtrahieren und multiplizieren können, genau wie normale ganze Zahlen. Leider gibt es aber einen gravierenden Schönheitsfehler: wir können nicht durch alle 10-adischen Zahlen dividieren.

Um zu sehen, warum das der Fall ist, müssen wir uns die Potenzen 2 und 5 ansehen:

Beachte, wie viele der 5er-Potenzen mit anderen, kleineren Potenzen von 5 enden. Das Gleiche gilt auch für die 2er Potenzen: Es stellt sich heraus, dass wir zwei unendliche, 10-adische Zahlen erzeugen können, die immer mit 2er bzw. 5er Potenzen enden:

Weiter

Wenn wir versuchen, die Potenzen von 2 und 5 zu multiplizieren, erhalten wir eine Zahlenfolge von Produkten, die immer näher an Null heranrücken (in unserem 10adischen Sinn):

Dasselbe passiert, wenn wir versuchen, M und N miteinander zu multiplizieren:

Mit anderen Worten, wir haben zwei von Null verschiedene Zahlen M und N gefunden für die gilt M × N = 0.

Das bedeutet, dass es in der 10-adischen Arithmetik unmöglich ist, durch M oder N zu dividieren. (Wenn es möglich wäre, könnten wir die Gleichung M × N = 0 durch N dividieren und würden als Ergebnis M = 0 erhalten. Das ist ein Widerspruch.)