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Explodierende PunkteP-adische Zahlen

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Im vorherigen Abschnitt haben wir es geschafft, zwei von Null verschiedene 10-adische Zahlen M und N zu bilden, so dass M×N=0 ergibt. Das bedeutet, dass es unmöglich ist, durch Zahlen wie M und N zu dividieren - ein gravierender Schönheitsfehler in jedem Zahlensystem.

Es stellt sich jedoch heraus, dass dieses Problem nur auftritt, wenn die Zahlenbasis keine Primzahl ist. Da 10 Primzahl ist, besitzen die 10-adischen Zahlen diesen Schönheitsfehler. 2-adische oder 3-adische Zahlen hingegen betrifft das nicht.

Mathematiker nennen diese Zahlen p-adische Zahlen, wobei das p für "Primzahl" steht. Auch wenn sie im Alltag nicht besonders relevant erscheinen, erweisen sich p-adische Zahlen in bestimmten Gebieten der Mathematik als sehr nützlich.

Zum Beispiel hängen viele unbeantwortete Probleme in der Mathematik mit Primzahlen und Primfaktorzerlegung zusammen. Da p-adische Zahlen durch Multiplikation und nicht durch Addition definiert wurden, sind sie perfekt, um diese Probleme zu analysieren. P-adische Zahlen wurden sogar in Andrew Wiles' berühmtem Beweis von Fermats letztem Satz verwendet.

Eine der wohl überraschendsten Anwendungen der p-adischen Zahlen liegt in der Geometrie. Hier siehst du ein Quadrat, das in ${2*x} kleine Dreiecke gleicher Fläche unterteilt ist:

Wenn du den Schieberegler bewegst, kannst du sehen, dass es möglich ist, das Quadrat in eine beliebige Anzahl gleicher Dreiecke zu teilen.

Aber was ist mit ungeraden Zahlen? Zeichne ein Quadrat auf ein Blatt Papier und versuche dann, es in 3, 5 oder 7 Dreiecke gleicher Fläche zu teilen.

Und jetzt kommt die schockierende Überraschung: es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist, ein Quadrat in eine ungerade Anzahl von Dreiecken gleicher Fläche zu teilen! Das wurde 1970 von dem Mathematiker Paul Monsky bewiesen - du kannst sogar einen Blick auf die Arbeit werfen, die er darüber veröffentlicht hat:

The American Mathematical Monthly

Bei der Beweisführung musste Monsky das 2-adische Zahlensystem verwenden. Die Mathematik, so seltsam sie auch erscheinen mag, bringt immer wieder überraschende und unerwartete Anwendungen hervor.