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FraktaleEinführung

Lesezeit: ~45 min

Wenn du dich in der Natur umschaust, hast du vielleicht komplizierte Pflanzen wie diese bemerkt:

Dieser Farn besteht aus vielen kleinen Blättern, die von einem größeren abzweigen.

Dieser Romanesco-Brokkoli besteht aus kleineren , die sich um einen größeren drehen.

Anfangs erscheinen diese wie hochkomplexe Formen - aber wenn du genauer hinschaust, wirst du feststellen, dass beide einem relativ einfachen Muster folgen: Alle Einzelteile der Pflanzen sehen genauso aus wie die gesamten Pflanze, nur kleiner. Das gleiche Muster wird in kleineren Maßstäben immer wieder wiederholt.

In der Mathematik nennen wir diese Eigenschaft Selbstähnlichkeit, und Formen, die sie haben, heißen Fraktale. Sie sind einige der schönsten und bizarrsten Objekte in der gesamten Mathematik.

Um unsere eigenen Fraktale zu erstellen, müssen wir mit einem einfachen Muster beginnen und es dann in kleineren Maßstäben immer wieder wiederholen.

Eines der einfachsten Muster könnte ein Liniensegment sein, wobei zwei weitere Segmente an einem Ende abzweigen. Wenn wir dieses Muster wiederholen, haben diese beiden blauen Segmente auch zwei weitere Zweige an ihren Enden.

Du kannst die blauen Punkte verschieben, um die Länge und den Winkel aller Zweige zu ändern. Dann erhöhe die Anzahl der Iterationen mit dem Schieberegler unten.

Abhängig von der Position der Zweige kannst du völlig unterschiedliche Muster erstellen - ähnlich wie der oben, ein oder . Was kannst du sonst noch finden?

Ein weiteres berühmtes Fraktal ist das Sierpinski-Dreieck. In diesem Fall beginnen wir mit einem großen, gleichseitigen Dreieck und schneiden dann wiederholt kleinere Dreiecke aus den verbleibenden Teilen aus.

Beachte, wie die endgültige Form aus drei identischen Kopien von sich selbst besteht, und jede davon besteht aus noch kleineren Kopien des gesamten Dreiecks! Du könntest das Dreieck für immer vergrößern, und die Muster und Formen wiederholen sich immer weiter.

Die Pflanzen am Anfang dieses Kapitels sehen wie Fraktale aus, aber es ist eindeutig unmöglich, im wirklichen Leben echte Fraktale zu erstellen. Wenn wir das gleiche Muster immer wieder wiederholen, immer kleiner, gelangen wir schließlich zu Zellen, Molekülen oder Atomen, die nicht mehr geteilt werden können.

Mit Hilfe der Mathematik können wir jedoch über die Eigenschaften nachdenken, die echte Fraktale „haben“ würden - und diese sind sehr überraschend…

Fraktale Dimensionen

Lasst uns zunächst über die Dimension von Fraktalen nachdenken. Eine Linie hat die Dimension . Wenn es um den Faktor 2 skaliert wird, erhöht sich seine Länge um den Faktor 21=2. Offensichtlich!

Ein Quadrat hat die Dimension . Wenn du es um den Faktor 2 skalierst, vergrößert sich seine Fläche um den Faktor 22= .

Ein Würfel hat die Dimension . Wenn du es um den Faktor 2 skalierst, erhöht sich sein Volumen um den Faktor 23= . Beachte, dass der größere Würfel im Bild aus 8 Kopien des kleineren besteht!

Schauen wir uns nun das Sierpinski-Dreieck an. Wenn wir es um den Faktor 2 skalieren, kannst du sehen, dass sich die „Fläche“ um den Faktor erhöht.

Nehmen wir an, d ist die Dimension des Sierpinski-Dreiecks. Unter Verwendung des gleichen Musters wie oben erhalten wir 2d=3. Mit anderen Worten, d = ≈ 1,585…

Aber warte ... wie kann etwas eine Dimension haben, die keine ganze Zahl ist? Es scheint unmöglich, aber dies ist nur eine der seltsamen Eigenschaften von Fraktalen. Dies ist es, was Fraktalen ihren Namen gibt: Sie haben eine Bruchdimension.

Mit jeder Iteration entfernen wir einen Teil des Bereichs des Sierpinski-Dreiecks. Wenn wir dies unendlich oft tun könnten, wäre tatsächlich kein Bereich mehr vorhanden. Deshalb liegt das Sierpinski-Dreieck zwischen einem zweidimensionalen Bereich und einer eindimensionalen Linie.

Während viele Fraktale selbstähnlich sind, ist eine bessere Definition, dass Fraktale Formen sind, die eine nicht ganzzahlige Dimension haben.

Die Koch-Schneeflocke

Es gibt viele Formen in der Natur, die wie Fraktale aussehen. Wir haben bereits zu Beginn dieses Kapitels einige Pflanzen gesehen. Andere gute Beispiele sind Schneeflocken und Eiskristalle:

Um unsere eigene fraktale Schneeflocke zu erzeugen, müssen wir erneut ein einfaches Verfahren finden, das wir immer wieder anwenden können.

Beginnen wir wie beim Sierpinski-Dreieck mit einem einzigen gleichseitigen Dreieck. Anstatt bei jedem Schritt kleinere Dreiecke zu entfernen, fügen wir kleinere Dreiecke entlang der Kante hinzu. Die Seitenlänge jedes Dreiecks beträgt der Dreiecke im vorherigen Schritt.

Die resultierende Form heißt Koch-Schneeflocke, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch. Beachte erneut, dass kleine Abschnitte des Randes der Schneeflocke genauso aussehen wie größere Abschnitte.

Wenn wir ein Kantensegment der Koch-Schneeflocke um den Faktor 3 skalieren, sich ihre Länge.

Unter Verwendung der gleichen Beziehung zwischen Dimensionen und Skalierungsfaktoren wie oben erhalten wir die Gleichung . Dies bedeutet, dass die Dimension der Koch-Schneeflocke d=log341.262 beträgt.

Bereich

Das Erstellen der Koch-Schneeflocken ist fast wie eine rekursive Sequenz: Wir kennen die Startform (ein Dreieck) und wissen, wie man von einem Term zum nächsten gelangt (indem wir an jeder Kante weitere Dreiecke hinzufügen):

neue Dreiecke

neue Dreiecke

neue Dreiecke

Nach der ersten Iteration erhöht sich die Anzahl der neu hinzugefügten Dreiecke bei jedem Schritt um den Faktor . Gleichzeitig verringert sich die Fläche dieser neuen Dreiecke bei jedem Schritt um den Faktor .

Nehmen wir an, das erste Dreieck hat eine Fläche von 1. Dann beträgt die Gesamtfläche der nächsten drei Dreiecke 3×19=13. Die folgenden Schritte bilden alle eine , mit dem gemeinsamen Verhältnis .

Mit der Formel für die Summe der unendlichen geometrischen Reihen können wir berechnen, dass die Gesamtfläche der Koch-Schneeflocke beträgt

A=1+13×1=85=1.6.

Umfang

Wir können auch versuchen, den Umfang der Koch-Schneeflocke zu berechnen. Wie wir bereits gesehen haben, ändert sich die Länge des Umfangs bei jedem Schritt um den Faktor .

Dies bedeutet, dass wir wieder eine geometrische Reihe haben - aber in diesem Fall . Dies bedeutet, dass der Umfang der Koch-Schneeflocke tatsächlich unendlich lang ist!

Wenn dies nicht intuitiv erscheint, denke daran, dass wir den Umfang bei jedem Schritt mit 43 multiplizieren und dies unendlich oft tun.

Es ist fast undenkbar, dass man eine Form mit einer endlichen Fläche und einem unendlichen Umfang haben können - aber dies ist nur eine der vielen unerwarteten Eigenschaften von Fraktalen.

Kannst du dir andere Möglichkeiten einfallen lassen, um deine eigenen Fraktale zu erstellen?

“My soul is spiralling on frozen fractals all around…”

Menger-Schwamm

Fraktale müssen nicht "flach" sein, wie viele der obigen Beispiele. Eines der bekanntesten Fraktale, die dreidimensional aussehen, ist der Menger-Schwamm, benannt nach dem Mathematiker Karl Menger, der ihn 1926 erstmals beschrieb.

Wir beginnen mit einem festen Würfel und bohren wiederholt immer kleinere Löcher in seine Seiten. Jede neue Iteration von Löchern hat die Breite der vorherigen Iteration von Löchern.

Ein 3×3×3 Würfel besteht aus 27 kleineren Würfeln, aber hier haben wir einige davon entfernt. Der Menger-Schwamm besteht aus Kopien von sich selbst, die dreimal kleiner sind.

Jetzt können wir versuchen, die Abmessung d des Menger-Schwamms genau wie für die Koch-Schneeflocke oben zu berechnen. In diesem Fall erhalten wir 3d=20 oder d=log3202.727.

Wenn du dir vorstellst, unendlich oft mehr und mehr Löcher auszuschneiden, ist kein tatsächliches Volumen mehr vorhanden. Deshalb ist der Würfel „nicht ganz“ dreidimensional!

Fraktale Küsten

Eines der Hauptmerkmale aller Fraktale, die wir bisher gesehen haben, ist, dass man für immer „hineinzoomen“ kann, und immer neue Muster findet. Um 1920 erkannte der britische Mathematiker Lewis Fry Richardson, dass dies auch für die Grenze oder Küste vieler Länder gilt.

Man beginnt mit der Grundform des Landes und fügen beim Vergrößern Flusseinlässe, Buchten und Flussmündungen sowie einzelne Klippen, Felsen, Kieselsteine usw. hinzu:

Dies ist ein erhebliches Problem, wenn Sie versuchen, die Länge der Grenze eines Landes zu berechnen. Wie entscheidet man, wie weit die Ansicht vergrößert werden soll und welche Ecken und Winkel berücksichtigt werden sollen?

Eine Möglichkeit, die Länge der britischen Küste zu messen, besteht beispielsweise darin, ein langes Lineal zu nehmen, den ganzen Weg um die Strände herumzulaufen und dann alle Entfernungen zu addieren.

Wenn das Lineal ${rulers[index]} km lang ist, müssen wir es ${count} Mal verwenden, damit wir eine Gesamtküstenlinie von ${count} × ${rulers[index]} = ${count * rulers[index]} km erhalten.

Wir können einfach mit immer kleineren Herrschern weitermachen, und jedes Mal wird unser Ergebnis für die Länge der Küste etwas länger. Genau wie bei der Koch-Schneeflocke scheint die britische Küste unendlich lang zu sein! Dies wird oft als Küstenparadoxon bezeichnet.

Einige Jahrzehnte später stieß der Mathematiker Benoit Mandelbrot bei seiner Arbeit bei IBM auf Richardsons Arbeit in einem alten Bibliotheksbuch. Er erkannte seine Bedeutung und auch seine Beziehung zu neueren Forschungen zu Fraktalen und Dimensionen.

Die Küste Großbritanniens sieht sicherlich fraktal aus, ist aber nicht selbstähnlich wie andere Fraktale, die wir zuvor gesehen haben. Um seine Größe zu ermitteln, können wir es in ein Raster zeichnen und die Anzahl der Zellen zählen, mit denen es sich schneidet.

Anfangs gibt es 88 sich schneidende Zellen. Wenn wir die Küste um den Faktor 2 skalieren, gibt es 197 sich schneidende Zellen - mehr als doppelt so viele!

Die Größe der Küste hat sich um den Faktor 19788 erhöht. Dies bedeutet, wie vorher, dass die Dimension der Küste

d=log2197881.16 ist.

Wenn wir dies mit größeren Gittern wiederholen, stellen wir fest, dass die Dimension der britischen Küste tatsächlich ungefähr 1,21 beträgt. Mandelbrot erkannte, dass diese fraktale Dimension auch ein Maß für die Rauheit einer Form ist - ein neues Konzept, für das er wichtige Anwendungen in vielen anderen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften fand.

Mehr Fraktale in Natur und Technologie

Während echte Fraktale in der Natur niemals auftreten können, gibt es viele Objekte, die fast wie wie Fraktale aussehen. Wir haben bereits Pflanzen, Schneeflocken und Küsten gesehen, und hier sind einige weitere Beispiele:

Gebirgszug in Zentralasien

Ganges-Delta in Indien

Blitze

Blutgefäße in der Netzhaut

Grand Canyon in den USA

Wolken

Alle diese Objekte mögen völlig zufällig erscheinen, aber genau wie Fraktale gibt es ein zugrunde liegendes Muster, das bestimmt, wie sie gebildet werden. Die Mathematik kann uns helfen, die Formen besser zu verstehen, und Fraktale finden Anwendung in Bereichen wie Medizin, Biologie, Geologie und Meteorologie.

Computergeneriertes fraktales Gelände

Wir können auch Fraktale verwenden, um realistische „Kopien“ der Natur zu erstellen, beispielsweise als Landschaften und Texturen, die in Videospielen oder computergenerierten Filmen verwendet werden. Das Wasser, die Berge und die Wolken in diesem Bild werden vollständig von einem Computer mit Hilfe von Fraktalen erstellt!

Und wir können diesen Prozess sogar umkehren, um digitale Bilder zu komprimieren und ihre Dateigröße zu reduzieren. Die ersten Algorithmen wurden in den 1980er Jahren von Michael Barnsley und Alan Sloan entwickelt, und neue werden noch heute erforscht.