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FraktaleDas Sierpinski-Dreieck

Lesezeit: ~25 min

Eines der Fraktale, die wir im vorherigen Kapitel gesehen haben, war das Sierpinski-Dreieck, das nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński benannt ist. Es kann erstellt werden, indem mit einem großen, gleichseitigen Dreieck begonnen wird und dann wiederholt kleinere Dreiecke aus seiner Mitte herausgeschnitten werden.

Wacław Sierpiński war der erste Mathematiker, der über die Eigenschaften dieses Dreiecks nachdachte, aber es ist viele Jahrhunderte zuvor in Kunstwerken, Mustern und Mosaiken aufgetaucht.

Hier einige Beispiele für Bodenfliesen aus verschiedenen Kirchen in Rom:

Wie sich herausstellt, erscheint das Sierpinski-Dreieck in einer Vielzahl anderer Bereiche der Mathematik, und es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, es zu erzeugen. In diesem Kapitel werden wir einige davon untersuchen!

Pascals Dreieck

Vielleicht erinnerst du dich bereits an das Sierpinski-Dreieck aus unserem Kapitel über Pascals Dreieck. Dies ist eine Zahlenpyramide, in der jede Zahl die Summe der beiden obigen Zahlen ist. Tippe auf alle geraden Zahlen im Dreieck unten, um sie hervorzuheben - und schau ob du ein Muster findest:

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Pascals Dreieck kann für immer nach unten fortgesetzt werden, und das Sierpinski-Muster wird mit immer größeren Dreiecken fortgesetzt. Du kannst bereits den Anfang eines noch größeren Dreiecks sehen das in Zeile 16 beginnt.

Wenn zwei benachbarte Zellen durch 2 teilbar sind, muss ihre Summe in der Zelle darunter auch durch 2 teilbar sein - deshalb können wir nur farbige Dreiecke (oder einzelne Zellen) erhalten. Natürlich können wir auch versuchen, alle Zellen zu färben, die durch andere Zahlen teilbar sind. Was glaubst du wird in diesen Fällen passieren?

Divisible by ${n}:

Hier ist eine winzige Version der ersten 128 Reihen des Pascalschen Dreiecks. Wir haben alle Zellen hervorgehoben, die durch ${n} teilbar sind - was fällt dir auf?

Für jede Zahl haben wir ein anderes Dreiecksmuster ähnlich dem Sierpinski-Dreieck. Das Muster ist besonders regelmäßig, wenn wir eine wählen. Wenn die Zahl viele verschiedene Primfaktoren hat, sieht das Muster weniger regelmäßig aus.

Das Chaos-Spiel

Hier siehst du die drei Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks. Tippe auf eine beliebige Stelle im grauen Bereich, um einen vierten Punkt zu erstellen.

Jetzt spielen wir ein einfaches Spiel: Wir wählen zufällig einen der Eckpunkte des Dreiecks aus, zeichnen ein Liniensegment zwischen unserem Punkt und dem Scheitelpunkt und finden dann den Mittelpunkt dieses Segments.

Nun wiederholen wir den Vorgang: Wir wählen einen anderen zufälligen Scheitelpunkt aus, zeichnen das Segment von unserem letzten Punkt und finden dann den Mittelpunkt. Beachten Sie, dass wir diese neuen Punkte basierend auf der Farbe des Scheitelpunkts des ausgewählten Dreiecks färben.

Bisher ist nichts Überraschendes passiert - aber schau was passier wenn wir denselben Vorgang noch viele Male wiederholen:

Dieser Vorgang wird als Chaos-Spiel bezeichnet. Am Anfang kann es einige Streupunkte geben, aber wenn Sie dieselben Schritte viele Male wiederholen, sieht die Punktverteilung genau wie das Sierpinski-Dreieck aus!

Es gibt viele andere Versionen davon - zum Beispiel könnten wir mit einem Quadrat oder einem Fünfeck beginnen, wir könnten zusätzliche Regeln hinzufügen, wie zum Beispiel, dass wir nicht zweimal hintereinander denselben Scheitelpunkt auswählen können, oder wir könnten den nächsten Punkt in einem Verhältnis auswählen außer 12 entlang des Segments. In einigen dieser Fälle erhalten wir nur eine zufällige Verteilung der Punkte, in anderen Fällen zeigen wir noch mehr Fraktale:

Triangle
Square
Pentagon

Hast du den oder diese entdeckt, die auf dem Goldenen Schnitt basiert?

Zelluläre Automaten

Ein Zellularautomat ist ein Gitter, das aus vielen einzelnen Zellen besteht. Jede Zelle kann sich in unterschiedlichen "Zuständen" befinden (z. B. unterschiedlichen Farben), und der Zustand jeder Zelle wird durch ihre umgebenden Zellen bestimmt.

In unserem Beispiel kann jede Zelle entweder schwarz oder weiß sein. Wir beginnen mit einer Zeile, die nur ein einziges schwarzes Quadrat enthält. In jeder folgenden Zeile wird die Farbe jeder Zelle durch die drei unmittelbar darüber liegenden Zellen bestimmt. Tippen Sie auf die acht möglichen Optionen unten, um deren Farbe umzudrehen. Können Sie eine Reihe von Regeln finden, die ein Muster ähnlich dem Sierpinski-Dreieck erstellen?

Für jede der acht Optionen gibt es zwei Auswahlmöglichkeiten, was bedeutet, dass insgesamt 28= mögliche Regeln vorhanden sind. Einige, wie , sehen aus wie das Sierpinski-Dreieck. Andere, wie , sehen völlig chaotisch aus. Es wurde 1983 von Stephen Wolfram entdeckt und kann von Computern sogar verwendet werden, um Zufallszahlen zu generieren!

Zelluläre Automaten zeigen, wie hochkomplexe Muster mit sehr einfachen Regeln erstellt werden können - genau wie Fraktale. Viele Prozesse in der Natur folgen ebenfalls einfachen Regeln, erzeugen jedoch unglaublich komplexe Systeme.

In einigen Fällen kann dies dazu führen, dass Muster auftreten, die genau wie zellulare Automaten aussehen, z. B. die Farben auf dem Schalenmantel dieser Schnecke.

Conus Textil, eine giftige Meeresschnecke

Sierpinski Tetrahedra

Es gibt viele Varianten des Sierpinski-Dreiecks und andere Fraktale mit ähnlichen Eigenschaften und Erstellungsprozessen. Einige sehen zweidimensional aus, wie der Sierpinski-Teppich, den Sie oben gesehen haben. Andere sehen dreidimensional aus, wie diese Beispiele:

Sierpinski Tetrahedra

Sierpinski-Pyramide