Folgen und MusterEinführung

Viele Berufe, die Mathematik anwenden, interessiert vor allem eines - Muster zu finden und die Zukunft voraussagen zu können. Hier sind zwei Beispiele:

Professionelle Mathematiker verwenden hochkomplexe Algorithmen, um all diese Muster zu finden und zu analysieren, aber wir wollen erst einmal mit etwas viel Einfacherem beginnen.

Einfache Folgen

In der Mathematik ist eine Folge eine Aneinanderreihung von Zahlen (oder anderen Objekten), die normalerweise nach einem bestimmten Muster angeordnet sind. Die einzelnen Elemente einer Folge werden Glieder genannt.

Hier sind ein paar Beispiele für Folgen. Kannst du ihre Muster finden und die beiden nächsten Glieder berechnen?

3, 6 +3, 9 , 12 , 15 , , … Pattern: “Addiere 3 zur vorherigen Zahl, um die nächste zu erhalten.”

4, 10 , 16 , 22 , 28 , , , … Pattern: “Addiere 6 zur vorherigen Zahl, um die nächste zu erhalten.”

3, 4 , 7 , 8 , 11 , , , … Pattern: “Addiere abwechselnd 1 und 3 zur vorherigen Zahl, um die nächste Zahl zu erhalten.”

1, 2 , 4 , 8 , 16 , , , … Pattern: “Multipliziere die vorherige Zahl mit 2, um die nächste Zahl zu erhalten.”

Die Punkte (...) am Ende bedeuten einfach, dass die Folge ewig weitergehen kann. Wenn wir uns in der Mathematik auf solche Folgen beziehen, stellen wir oft jedes Glied durch eine bestimmte Variable dar:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

Die kleine Zahl nach dem x wird als Index bezeichnet und gibt die Position des Gliedes in der Folge an. Das bedeutet, dass wir das n-te Glied der Folge darstellen können durch xnxix2.

Dreiecks- und Quadratzahlen

Folgen in der Mathematik müssen nicht immer aus Zahlen bestehen. Hier ist eine Folge, die aus geometrischen Formen besteht - immer größer werdende Dreiecke:

Bei jedem Schritt fügen wir eine weitere Reihe zum vorherigen Dreieck hinzu. Auch die Länge dieser neuen Reihen nimmt jedes Mal um eins zu. Kannst du das Muster erkennen?

1, 3 +2, 6 +3, 10 +4, 15 +5, 21 +6 +7, +8, …

Wir können dieses Muster auch mit einer speziellen Formel beschreiben:

xn = xn−1 + n

Um die n-te Dreieckszahl zu erhalten, nehmen wir die vorherigeerstenächste Dreieckszahl und addieren n. Wenn zum Beispiel n = ${n} ist, lautet die Formel x${n}=x${n-1}+${n}.

Eine Formel, die xn als Funktion der vorherigen Glieder der Folge ausdrückt, wird als rekursive Formel bezeichnet. Solange du das ersteletztezweite Glied der Folge kennst, kannst du damit alle folgenden Glieder berechnen.

Eine weitere Folge, die aus geometrischen Formen besteht, sind die Quadratzahlen. Jedes Glied wird aus immer größeren Quadraten gebildet:

Für die Dreieckszahlen haben wir eine rekursive Formel gefunden, die dir das nächste Glied der Folge in Abhängigkeit von den vorhergehenden Gliedern liefert. Für die Quadratzahlen gibt es sogar noch eine bessere Lösung: eine Formel, die dir direkt das n-te Glied der Folge angibt, ohne dass du erst alle vorherigen Glieder berechnen musst:

xn =

Das nennt man eine explizite Formel. Mit ihr können wir zum Beispiel ausrechnen, dass die 13. Quadratzahl ist, ohne dass wir die vorherigen 12 Quadratzahlen herausfinden müssen.

Fassen wir alle Definitionen zusammen, die wir bis jetzt kennengelernt haben:

Action-Serienbilder

In den folgenden Abschnitten lernst du viele verschiedene mathematische Folgen, überraschende Muster und unerwartete Anwendungen kennen.

Aber schauen wir uns zunächst etwas ganz anderes aus dem Bereich der Fotografie an: Action-Serienbilder. Ein Fotograf macht schnell hintereinander viele Aufnahmen und fügt sie dann zu einem einzigen Bild zusammen:

Kannst du erkennen, wie der Skifahrer eine Folge bildet? Das Muster beruht auf keiner Addition oder Multiplikation, sondern einer geometrischen Transformation. Zwischen den aufeinanderfolgenden Aufnahmen wird der Skifahrer sowohl verschoben als auch gedrehtgespiegeltvergrößert.

Hier sind noch ein paar weitere Beispiele von Action-Serienbildern, die dir gefallen werden: