Abbildungen und SymmetrieKongruenzabbildungen

Eine Kongruenzabbildungen (längentreue Abbildungen) ist eine besondere Art der Abbildung, die Größe und Form der ursprünglichen Figur nicht verändert. Stell dir vor, diese Figur würde aus einem festen Material wie Holz oder Metall bestehen: Wir können sie bewegen, drehen und wenden, aber wir können sie nicht dehnen oder irgendwie verformen.

Welche dieser fünf Abbildungen sind längentreu?

Es stellt sich heraus, dass es nur drei verschiedene Arten von Kongruenzabbildungen gibt:

Wir können auch mehrere Arten von Abbildungen kombinieren, um komplexere Abbildungen zu erreichen - zum Beispiel eine Verschiebung mit anschließender Drehung.

Aber zuerst wollen wir einen genauren Blick auf jede dieser Arten von Abbildungen werfen.

Verschiebungen (Translationen)

Eine Verschiebung ist eine Abbildung, die jeden Punkt einer Figur um den gleichen Abstand in die gleiche Richtung bewegt.

In der Koordinatenebene können wir eine Verschiebung festlegen, indem wir angeben wie weit die Figur entlang der x-Achse und der y-Achse bewegt wird. Beispielsweise bewegt eine Verschiebung um (3, 5) eine Figur um 3 entlang der x-Achse und um 5 entlang der y-Achse.

Jetzt bist du an der Reihe - verschiebe die folgenden Figuren wie angegeben:

Spiegelungen

Eine Spiegelung ist eine Abbildung, die eine Figur entlang einer Geraden "dreht" bzw. "spiegelt". Man nennt diese Gerade Spiegelachse oder kurz Achse.

Zeichne die Spiegelachse in jedem dieser Beispiele:

Jetzt bist du an der Reihe - zeichne die Spiegelung zu jeder dieser Figuren:

Beachte, dass, wenn ein Punkt auf der Spiegelachse liegt, sein Bild gleichrechts vongegenüber dem ursprünglichen Punkt ist.

In allen oben genannten Beispielen war die Spiegelachse horizontal, vertikal oder in einem Winkel von 45° - was es einfach machte, die Spiegelbilder zu zeichnen. Ist dies nicht der Fall, erfordert die Konstruktion etwas mehr Aufwand:

Drehungen (Rotationen)

Eine Drehung ist eine Abbildung, die eine Figur um einen bestimmten Winkel um einen Festpunkt "rotieren" lässt. Dieser Punkt wird als Drehzentrum bezeichnet. Drehungen können im oder gegen den Uhrzeigersinn erfolgen.

Versuche, die untenstehenden Figuren um das rote Drehzentrum zu drehen:

Abbildungen sind in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Grundlage, nicht nur in der Geometrie. Beispielsweise kann man Funktionen transformieren ("abbilden"), indem man ihre Graphen verschiebt oder dreht. Andere Abbildungen (Transformationen) haben nicht einmal eine visuelle Darstellung.