Kreise und PiGrad und Radiant

Bisher haben wir in der Geometrie immer Winkel in Grad gemessen. Eine vollständige Umdrehung hat °, eine halbe hat °, eine Viertelumdrehung hat °, und so weiter.

Die Zahl 360 ist sehr praktisch, da sie durch so viele andere Zahlen teilbar ist: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 und so weiter. Das bedeutet, dass viele Bruchteile eines Kreises praktischerweise ganze Zahlen sind. Aber hast du dich jemals gefragt , wie man überhaupt auf die Zahl 360 gekommen ist? Weiter

Astronomen bemerkten, dass sich die zu einer bestimmten Zeit während der Nacht sichtbaren Konstellationen jeden Tag ein wenig verschoben haben - bis sie nach etwa 360 Tagen wieder zu ihrem Ausgangspunkt zurückgekehrt waren. Und das mag der Grund gewesen sein, warum sie den Kreis in 360 Grad unterteilt haben.

Natürlich sind es eigentlich 365 Tage in einem Jahr (genauer gesagt 365,242199), aber babylonische Mathematiker arbeiteten mit einfachen Sonnenuhren, und diese Annäherung war völlig ausreichend.

Es funktionierte auch gut mit dem bestehenden 60er Zahlensystem (weil 6×60=360). Dieses System ist der Grund, warum wir immer noch 60 Sekunden in einer Minute und 60 Minuten in einer Stunde verwenden - obwohl die meisten anderen Einheiten im Dezimalsystem angegeben werden (zB. ein Jahrzent für 10 Jahre, ein Jahrhundert für 100 Jahre).

Radiant

Anstatt einen Kreis in eine bestimmte Anzahl von Teilbereiche (z.B. 360 Grad) aufzuteilen, ziehen Mathematiker es oft vor, Winkel mittels des Umfangs eines Einheitskreises (eines Kreises mit dem Radius 1) anzugeben.

Jeder Winkel in Grad hat dabei eine gleichwertige Größe in Radiant. Die Umrechnung zwischen den beiden ist sehr einfach - so wie man zwischen anderen Einheiten wie Metern und Kilometern oder Celsius und Fahrenheit umrechnen kann:

360° = 2π rad

Du kannst den Radiantwert entweder als Vielfaches von π oder als einzelne Dezimalzahl schreiben. Kannst du diese Tabelle mit den entsprechenden Winkelgrößen in Grad und Radiant ausfüllen?

Zurückgelegte Strecke

Man kann sich Radiant als die zurückgelegte Wegstrecke entlang des Umfangs eines Einheitskreises vorstellen. Dies ist besonders nützlich bei der Arbeit mit Objekten, die sich auf einer Kreisbahn bewegen.

Wie du siehst sind in diesem Beispiel Radiant die viel bequemere Einheit als Grad. Sobald wir die Drehgeschwindigkeit kennen, müssen wir einfach mit dem Radius multiplizieren, um die tatsächliche Drehgeschwindigkeit zu erhalten.

Hier ist ein weiteres Beispiel: Dein Auto hat Reifen mit einem Radius von 0,25 m. Wenn du mit einer Geschwindigkeit von 20 m/s fährst, drehen sich die Reifen deines Autos mit 200.25=8020×0.25=50.2550=0,0125 Radiant pro Sekunde (oder 802π=13 Umdrehungen pro Sekunde)

Trigonometrie

Für die meisten einfachen Geometrieaufgaben sind Grad und Radiant völlig austauschbar - Du kannst entweder wählen, welche du bevorzugst, oder in der Frage wird schon festgelegt, in welcher Einheit man antworten soll. Sobald du dich jedoch tiefer mit Trigonometrie oder Infinitesimalrechnung auseinandersetzt, wirst du feststellen, dass Radiant viel bequemer zu handhaben sind als das Gradmaß.

Die Verwendung von Radiant hat einen besonders interessanten Vorteil bei der Verwendung der Sinus-Funktion. Wenn θ ein sehr kleiner Winkel ist (weniger als 20° oder 0,3 rad), dann gilt sinθ≈θ. Zum Beispiel,

sin(${x}) ≈ ${sin(x)}…

Dies wird als Kleinwinkelnäherung bezeichnet und kann bestimmte Gleichungen, die trigonometrische Funktionen enthalten, erheblich vereinfachen. Wir werden darauf später noch näher eingehen.