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Tiếng ViệtKreise und PiGrad und Radiant
Bisher haben wir in der Geometrie immer Winkel in Grade sind eine Einheit zur Winkelmessung, die mit Symbol ° bezeichnet werden. Eine komplette Umdrehung sind 360°, ein rechter Winkel 90°, und so weiter.
Die Zahl 360 ist sehr praktisch, da sie durch so viele andere Zahlen teilbar ist: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 und so weiter. Das bedeutet, dass viele Bruchteile eines Kreises praktischerweise ganze Zahlen sind. Aber hast du dich jemals gefragt , wie man überhaupt auf die Zahl 360 gekommen ist?
Tatsächlich sind 360 Grad eines der ältesten Konzepte der Mathematik, die wir heute noch anwenden. Man kann es bis ins alte Babylon zurückverfolgen, wo es vor mehr als 5000 Jahren entwickelt worden ist!
Zu dieser Zeit war eine der wichtigsten Anwendungen der Mathematik die Astronomie. Die Sonne bestimmt die vier Jahreszeiten, über die die Bauern beim Anbau von Pflanzen Bescheid wissen müssen. Ebenso bestimmt der Mond die Gezeiten, was für die Fischer wichtig war. Die Menschen studierten auch die Sterne, um die Zukunft vorherzusagen oder mit den Göttern zu kommunizieren.
Eine babylonische Tafel zur Berechnung von
Astronomen bemerkten, dass sich die zu einer bestimmten Zeit während der Nacht sichtbaren Konstellationen jeden Tag ein wenig verschoben haben - bis sie nach etwa 360 Tagen wieder zu ihrem Ausgangspunkt zurückgekehrt waren. Und das mag der Grund gewesen sein, warum sie den Kreis in 360 Grad unterteilt haben.
Natürlich sind es eigentlich 365 Tage in einem Jahr (genauer gesagt 365,242199), aber babylonische Mathematiker arbeiteten mit einfachen Sonnenuhren, und diese Annäherung war völlig ausreichend.
Es funktionierte auch gut mit dem bestehenden 60er Zahlensystem (weil Das Dezimalsystem (oder Basis 10) ist das weltweit am häufigsten verwendete Zahlensystem. Jede Ziffer einer Zahl kann einen von zehn verschiedenen Werten haben, von 0 bis 9.
Für viele von uns ist die Winkelmessung in Grad eine Selbstverständlichkeit: Es gibt 360°-Videos, Skateboarder können 540° Drehungen ausführen, und jemand, der seine Entscheidung ändert, macht eine Kehrtwendung um 180°.
Aber aus mathematischer Sicht ist die Wahl von 360 völlig willkürlich. Wenn wir auf dem Mars leben würden, könnte ein Kreis 670° und ein Jahr auf dem Jupiter sogar 10.475 Tage haben.
Der 540 McFlip, eine Drehung um 540°
Radiant
Anstatt einen Kreis in eine bestimmte Anzahl von Teilbereiche (z.B. 360 Grad) aufzuteilen, ziehen Mathematiker es oft vor, Winkel mittels des Der Umfang eines Kreises ist die Streckenlänge seiner äußeren Umrandung (Kreislinie). Ein Kreis mit Radius r hat den Umfang Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1.
Ein hat dann einen Umfang
Bei einer beträgt der entsprechende Abstand entlang des Umfangs
Bei einer beträgt der Abstand entlang des Umfangs
Und so weiter: Diese Art der Winkelmessung wird als Radiant ist eine Einheit zur Messung der Größe von Winkeln. Eine vollständige Umdrehung (360°) ist
Jeder Winkel in Grad hat dabei eine gleichwertige Größe in Radiant. Die Umrechnung zwischen den beiden ist sehr einfach - so wie man zwischen anderen Einheiten wie Metern und Kilometern oder Celsius und Fahrenheit umrechnen kann:
360° = 2π rad
Du kannst den Radiantwert entweder als Vielfaches von π oder als einzelne Dezimalzahl schreiben. Kannst du diese Tabelle mit den entsprechenden Winkelgrößen in Grad und Radiant ausfüllen?
| Grad | 0 | 60 | π | 180 | π |
| Radiant | 0 | π | 2 | π |
Zurückgelegte Strecke
Man kann sich Radiant als die zurückgelegte Wegstrecke entlang des Umfangs eines Einheitskreises vorstellen. Dies ist besonders nützlich bei der Arbeit mit Objekten, die sich auf einer Kreisbahn bewegen.
Zum Beispiel umkreist die Die Internationale Raumstation (ISS) wurde 1998 gestartet und umkreist die Erde in einer Höhe von etwa 400 km. Es ist das größte von Menschenhand geschaffene Bauwerk in der niedrigen Erdumlaufbahn (LEO) und wurde seit dem Start durchgehend bewohnt. Sie kann mit bloßem Auge von der Erde aus gesehen werden.
In einem Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1.
Der Radius der ISS-Umlaufbahn beträgt 6800 km, was bedeutet, dass die tatsächliche Geschwindigkeit der ISS
Wie du siehst sind in diesem Beispiel Radiant die viel bequemere Einheit als Grad. Sobald wir die Drehgeschwindigkeit kennen, müssen wir einfach mit dem Radius multiplizieren, um die tatsächliche Drehgeschwindigkeit zu erhalten.
Hier ist ein weiteres Beispiel: Dein Auto hat Reifen mit einem Radius von 0,25 m. Wenn du mit einer Geschwindigkeit von 20 m/s fährst, drehen sich die Reifen deines Autos mit
Trigonometrie
Für die meisten einfachen Geometrieaufgaben sind Grad und Radiant völlig austauschbar - Du kannst entweder wählen, welche du bevorzugst, oder in der Frage wird schon festgelegt, in welcher Einheit man antworten soll. Sobald du dich jedoch tiefer mit Die Trigonometrie ist ein Zweig der Mathematik, der die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken untersucht. Es geht in erster Linie um die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und deren Wechselwirkungen. Die Analysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Grenzwerten, Ableitungen, Integralen und Potenzreihen beschäftigt. Häufige Aufgabenstellungen sind die Berechnung der Steigung einer Kurve, von Extremen, der Änderungsrate einer Funktion und der Fläche unter einer Kurve.
Die meisten Taschenrechner verfügen über eine Der Sinus ist eine trigonometrische Funktion, die Der Kosinus ist eine trigonometrische Funktion, die
Versuche folgende Rechnungen mit dem Rechner nachzuvollziehen
sin(30°) =
sin(30 rad) =
Die Verwendung von Radiant hat einen besonders interessanten Vorteil bei der Verwendung der Der Sinus ist eine trigonometrische Funktion, die
sin(
Dies wird als Kleinwinkelnäherung bezeichnet und kann bestimmte Gleichungen, die trigonometrische Funktionen enthalten, erheblich vereinfachen. Wir werden darauf später noch näher eingehen.