Kreise und PiKugeln, Kegel und Zylinder

In den vorangegangenen Abschnitten haben wir die Eigenschaften von Kreisen auf einer ebenen Fläche untersucht. Aber unsere Welt ist eigentlich dreidimensional, also schauen wir uns einige Körper in 3D an, die auf Kreisen basieren:

Ein Zylinder besteht aus zwei kongruenten, parallelen Kreisen, die durch eine gekrümmte Oberfläche verbunden sind.

Ein Kegel hat eine kreisförmige Grundfläche, die mit einem einzigen Punkt (der sogenannten Spitze) verbunden ist.

Jeder Punkt auf der Oberfläche einer Kugel hat den gleichen Abstand von ihrem Mittelpunkt.

Beachte, dass die Definition einer Kugel fast identisch ist mit der Definition von einem - aber eben dreidimensional!

Zylinder

Hier siehst du den zylindrischen Gasometer in Oberhausen, Deutschland. Er wird verwendet um Erdgas, das als Brennstoff in nahegelegenen Fabriken und Kraftwerken verwendet wird, zu speichern. Der Gasometer ist 120 m hoch und sein Boden und seine Deckfläche sind zwei große Kreise mit einem Radius von 35 m. Es gibt zwei wichtige Fragen, die hier für Ingenieure von Interesse sein dürften:

Wie viel Erdgas kann gespeichert werden? Das entspricht des Zylinders.
Wie viel Stahl wird für den Bau des Gasometers benötigt? In diesem Fall geht es (ungefähr) um des Zylinders.

Wir wollen versuchen, Formeln für diese beiden Werte zu finden!

Gasometer Oberhausen

Volumen eines Zylinders

Oberhalb und unterhalb des Zylinders befinden sich zwei kongruente Kreise, die Grund- und Deckfläche. Die Höhe h eines Zylinders ist der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche, und der Radius r eines Zylinders ist einfach der Radius der runden Grundfläche.

Wir können einen Zylinder mit einem ${n}-seitigen Prisma annähern. Mit zunehmender Anzahl der Seiten beginnt das Prisma immer mehr wie ein Zylinder auszusehen:

Auch wenn ein Zylinder technisch gesehen kein Prisma ist, haben sie viele Eigenschaften gemeinsam: In beiden Fällen können wir das Volumen bestimmen, indem wir die Fläche ihrer Grundfläche mit ihrer Höhe multiplizieren. Das bedeutet, dass das Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe h sich wie folgt berechnen lässt:

Beachte, dass Radius und Höhe die gleichen Einheiten haben müssen, z.B. wenn r und h beide in cm sind, dann wird das Volumen in sein.

In den obigen Beispielen lagen die beiden Kreisflächen des Zylinders immer direkt übereinander: Man nennt dies einen geraden Zylinder. Wenn die Kreisflächen nicht direkt übereinander liegen, reden wir von einem schiefen Zylinder. Die Kreisflächen sind noch parallel, aber die Seiten scheinen sich seitwärts zu ”lehnen“, in einem Winkel der nicht 90° groß ist.

Beim Schiefen Turm von Pisa in Italien handelt es sich um keinen wirklich schiefen Zylinder.

Das Volumen eines schiefen Zylinders erweist sich als genau das gleiche wie bei einem geraden Zylinder mit gleichem Radius und gleicher Höhe. Dies ist auf das Prinzip von Cavalieri zurückzuführen, benannt nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri: Wenn zwei Festkörper in jeder Höhe die gleiche Querschnittsfläche haben, dann haben sie das gleiche Volumen.

Stell dir vor, du schneidest einen Zylinder in viele dünne Scheiben. Wir können diese Scheiben dann horizontal verschieben, um einen schiefen Zylinder zu erhalten. Das Volumen der einzelnen Scheiben ändert sich nicht, wenn man sie schräg stellt, daher bleibt auch das Gesamtvolumen konstant:

Oberfläche eines Zylinders

Um die Oberfläche eines Zylinders zu bestimmen, müssen wir ihn in sein Netz “auseinanderklappen”. Du kannst das selbst ausprobieren, indem du z.B. das Etikett auf einer Lebensmitteldose ablöst.

Jeder Zylinder setzt sich aus zwei zusammen, oberhalb und unterhalb. Dazu kommt eine gebogene Seitenfläche, die eigentlich ein großes ist.

Die zwei Kreisflächen haben jeweils eine Fläche von .
Die Höhe des Rechtecks ist gleich und die Breite des Rechtecks ist gleich der Kreise: .

Das bedeutet, dass sich die gesamte Oberfläche eines Zylinders mit Radius r und Höhe h wie folgt berechnen lässt:

A= .

Zylinder sind überall in unserem Alltag zu finden - von der Limonade bis zum Toilettenpapier oder Wasserleitungen. Fallen dir noch ein andere Beispiele ein?

Der Gasometer von weiter oben hatte einen Radius von 35m und eine Höhe von 120m. Wir können nun berechnen, dass sein Volumen etwa m3und seine Oberfläche etwa m2betragen.

Kegel

Ein Kegel ist ein dreidimensionaler Körper, der eine kreisförmige Grundfläche hat. Seine Seite “verjüngt sich nach oben”, wie im Diagramm dargestellt, und endet in einem einzigen Punkt, der Spitze.

Der Radius des Kegels ist der Radius der kreisförmigen Grundfläche, und die Höhe des Kegels ist der senkrechte Abstand von der Grundfläche zur Spitze.

Genau wie andere Formen, die wir vorher betrachtet haben, sind Kegel überall um uns herum zu finden: Eistüten, Verkehrskegel, bestimmte Dächer und sogar Weihnachtsbäume. Was fällt dir sonst noch ein?

Volumen eines Kegels

Wir haben zuvor das Volumen eines Zylinders ermittelt, indem wir es mit einem Prisma angenähert haben. Ebenso können wir beim Volumen eines Kegels vorgehen, nur dass wir es mit einer Pyramide annähern.

Hier siehst du eine ${n}-seitige Pyramide. Mit zunehmender Anzahl der Seiten beginnt die Pyramide immer mehr wie ein Kegel auszusehen: Tatsächlich könnten wir uns einen Kegel als eine Pyramide mit unendlich vielen Seiten vorstellen!

Das bedeutet auch, dass wir die Gleichung für das Volumen verwenden können: V = 1/3 "Grundfläche" × "Höhe" `. Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis, so dass das Volumen eines Kegels mit Radius r und Höhe h sich wie folgt berechnet

Beachte die Ähnlichkeit mit der Gleichung für das Volumen eines Zylinders. Stell dir vor , du zeichnest einen Zylinder um den Kegel herum, mit der gleichen Grundfläche und Höhe - man nennt das den umschriebenen Zylinder. Wir stellen fest, dass das Volumen des Kegels genau des Volumens des Zylinders beträgt:

Anmerkung: Man könnte meinen, dass unendlich viele kleine Seiten als Annäherung etwas “ungenau” sind. Die Mathematiker haben lange Zeit versucht, einen einfacheren Weg zu finden, um das Volumen eines Kegels zu berechnen. Im Jahr 1900 nannte der große Mathematiker David Hilbert das sogar als eines der 23 wichtigsten ungelösten Probleme in der Mathematik! Heute wissen wir, dass es eigentlich unmöglich ist.

Genau wie ein Zylinder muss ein Kegel nicht “gerade” sein. Wenn die Spitze direkt über der Mitte der Grundfläche liegt, handelt es sich um einen geraden Kegel. Ansonsten sprechen wir von einem schiefen Kegel.

Noch einmal können wir das Prinzip von Cavalieri anwenden, um zu zeigen, dass alle schiefen Kegel das gleiche Volumen haben, solange sie die gleiche Grundfläche und Höhe haben.

Oberfläche eines Kegels

Die Bestimmung der Oberfläche eines Kegels ist etwas komplizierter. Wie zuvor können wir einen Kegel in sein Netz entfalten. Bewege den Schieberegler, um zu sehen, was passiert: In diesem Fall erhalten wir einen Kreis und .

Nun müssen wir nur noch die Fläche dieser beiden Teilstücke addieren. Die Grundfläche ist ein Kreis mit dem Radius r. Somit ist seine Fläche gleich

AGrundfläche= .

Der Radius des Sektors ist gleich dem Abstand vom Rand eines Kegels zu seiner Spitze. Dies wird als Mantellinie s des Kegels bezeichnet und ist nicht gleich der eigentlichen Höhe h. Wir können die Mantellinie mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ermitteln:

s2	=
s	=

Die Kreisbogenlänge des Sektors ist gleich dem der Grundfläche: 2rπ. Jetzt können wir die Sektorfläche mit der Formel finden, die wir in einem vorherigen Abschnitt hergeleitet haben:

ASektor	=	AKreis×KreisbogenUmfang
	=

Schließlich müssen wir nur noch die Fläche der Grundfläche und die Fläche des Sektors addieren, um die Gesamtoberfläche des Kegels zu erhalten:

Kugeln

Eine Kugel ist ein dreidimensionaler Körper, der aus allen Punkten besteht, die den gleichen Abstand zu einem gegebenen Mittelpunkt M haben . Dieser Abstand wird als Radius r der Kugel bezeichnet.

Du kannst dir eine Kugel als einen “dreidimensionalen Kreis” vorstellen. Wie ein Kreis hat auch eine Kugel einen Durchmesser d, der so groß wie der Radius ist, sowie Sektoren und Segmente.

In einem früheren Abschnitt hast du gelernt, wie der griechische Mathematiker Eratosthenes den Radius der Erde mit dem Schatten eines Obelisken berechnete - er betrug 6.371 km. Nun wollen wir versuchen, das Gesamtvolumen und die Oberfläche der Erde zu berechnen.

Volumen einer Kugel

Um das Volumen einer Kugel zu bestimmen, müssen wir wieder einmal das Prinzip von Cavalieri anwenden: Beginnen wir mit einer Halbkugel - einer Kugel, die entlang des Äquators in zwei Hälften geschnitten ist. Wir betrachten auch einen Zylinder mit dem gleichen Radius und der gleichen Höhe wie diese Halbkugel, aber mit einem umgekehrten Kegel, der aus seiner Mitte “herausgebohrt” worden ist.

Wenn du den Schieberegler nach oben bewegst, kannst du sehen, wie sich der Querschnitt dieser beiden Formen in einer bestimmten Höhe über der Grundfläche ändert:

Versuchen wir, die Querschnittsfläche dieser beiden Körper in einem Abstand der Höhe h über der Grundfläche zu berechnen.

Der Querschnitt der Halbkugel ist immer ein .

Der Radius x des Querschnitts ist Teil eines rechtwinkligen Dreiecks, so dass wir den Satz des Pythagoras anwenden können:

r2=h2+x2.

Damit ergibt sich die Fläche des Querschnitts

Der Querschnitt des Zylinderauschnitts ist immer ein .

Der Radius der „Bohrung“ beträgt h. Wir können die Fläche des Rings finden, indem wir die Fläche der Bohrung von der Fläche des größeren Kreises abziehen:

A	=	r2π−h2π
	=	r2−h2π

Es sieht so aus, als hätten beide Körper auf jeder Ebene die gleiche Querschnittsfläche. Nach dem Prinzip von Cavalieri müssen beide Körper auch haben! Wir können das Volumen der Halbkugel finden, indem wir das Volumen des Zylinders und das Volumen des Kegels voneinander abziehen

VHalbkugel	=	VZylinder−VKegel
	=

Eine Kugel besteht aus Halbkugeln, d.h. ihr Volumen ergibt sich zu

V=43r3π.

Die Erde ist (ungefähr) eine Kugel mit einem Radius von 6.371 km. Daher beträgt ihr Volumen

V	=
	=	1 km3

Die durchschnittliche Dichte der Erde beträgt 5510kg/m3, d.h. ihre Gesamtmasse ist

Masse=Volumen×Dichte≈6×1024kg

Das ist eine 6, gefolgt von 24 Nullen!

Wenn du die Gleichungen für das Volumen von Zylinder, Kegel und Kugel vergleichst, wirst du vielleicht einen der verblüffendsten Zusammenhänge in der Geometrie bemerken. Stelle dir vor, wir haben einen Zylinder mit der gleichen Höhe wie der Durchmesser seiner Grundfläche. Wir können nun sowohl einen Kegel als auch eine Kugel perfekt in sein Inneres einpassen:

Dieser Kegel hat den Radius r und die Höhe 2r. Sein Volumen beträgt

Diese Kugel hat den Radius r. Ihr Volumen beträgt

Der Zylinder hat den Radius r und die Höhe 2r. Sein Volumen beträgt

Beachte, dass, wenn wir das Volumen des Kegels und der Kugel , wir genau das Volumen des Zylinders erhalten!

Oberfläche einer Kugel

Es ist sehr schwierig, eine Formel für die Oberfläche einer Kugel zu finden. Ein Grund dafür ist, dass wir die Oberfläche einer Kugel nicht aufschneiden und “ausbreiten” können, wie wir es weiter oben bei Kegeln und Zylindern getan haben.

Dieses Problem stellt sich besonders, wenn man versucht Landkarten zu erstellen. Die Erde hat eine gekrümmte, dreidimensionale Oberfläche, aber jede gedruckte Karte muss flach und zweidimensional sein, was bedeutet, dass Geographen tricksen müssen: durch Strecken oder Stauchen bestimmter Bereiche.

Hier siehst du einige verschiedene Arten von Karten, die als Projektionen bezeichnet werden. Versuche, das rote Feld zu verschieben und beobachte, wie dieser Bereich auf einer Kugel tatsächlich aussieht:

Mercator

Zylindrisch

Robinson

Mollweide

Wenn du das Feld auf der Karte verschiebst, beachte, wie sich Größe und Form des ausgewählten Bereichs auf dem dreidimensionalen Globus ändern.

Um die Oberfläche einer Kugel zu bestimmen, können wir sie noch einmal mit einer anderen Form annähern - zum Beispiel einem Polyeder mit vielen Flächen. Mit zunehmender Anzahl der Flächen beginnt das Polyeder immer mehr wie eine Kugel auszusehen.

DEMNÄCHST: KOMMT BALD!

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