Euklidische GeometrieEuklids Axiome

Ein Punkt ist eine bestimmte Position im Raum. Punkte beschreiben eine Position, haben aber selbst keine Größe oder Form. Sie werden mit Großbuchstaben bezeichnet.

In Mathigon zeigen große, ausgefüllte Punkte interaktive Punkte an, die du bewegen kannst, während kleinere, nicht ausgefüllte Punkte fixe Punkte anzeigen, die du nicht bewegen kannst. Weiter

Eine Gerade ist eine Ansammlung von unendlich vielen Punkten, die sich in beide Richtungen unbegrenzt erstreckt. Geraden sind immer gerade und nehmen, genau wie Punkte, keinen Platz ein - sie haben keine Breite.

Geraden werden mit Kleinbuchstaben beschriftet. Wir können sie auch mit zwei Punkten festlegen, die auf der Geraden liegen, z.B. PQ↔ oder QP↔. Die Reihenfolge der Punkte spielt keine Rolle. Weiter

Eine Strecke ist der Abschnitt einer Geraden zwischen zwei Punkten, und geht in beiden Richtungen nicht unendlich weiter. Wir können sie genau wie Geraden beschriften, aber ohne Pfeilspitzen auf dem Strich darüber: AB‾ oder BA‾. Auch hier spielt die Reihenfolge der Punkte keine Rolle. Weiter

Ein Strahl ist mehr als eine Strecke aber weniger als eine Gerade. Man ihn auch Halbgerade, da er nur auf einer Seite unendlich weiter geht. Du kannst dir das wie Sonnenstrahlen vorstellen: Sie beginnen an einem Punkt (der Sonne) und gehen dann für immer weiter.

Bei der Beschriftung von Strahlen zeigt der Pfeil die Richtung an, in die er sich bis zur Unendlichkeit erstreckt, z.B. AB→. Diesmal spielt die Reihenfolge der Punkte eine Rolle. Weiter

Ein Kreis ist die Ansammlung von Punkten, die alle den gleichen Abstand zu einem Punkt in der Mitte haben. Dieser Abstand wird als Radius bezeichnet. Weiter

Diese beiden Figuren schauen eigentlich genau gleich aus. Sie haben die gleiche Größe und Form, und wir könnten durch drehen und verschieben eine von ihnen exakt über die anderen legen. In der Geometrie sagen wir, dass die beiden Figuren kongruent oder deckungsgleich sind.

Das Symbol für Kongruenz ist ≅. Wir würden also sagen, dass A≅B.

Zwei Geraden, die sich nie schneiden, werden als Parallele bezeichnet. Sie zeigen in die gleiche Richtung, und der Abstand zwischen ihnen ist immer gleichnimmt zunimmt ab.

Ein gutes Beispiel für parallele Geraden im wirklichen Leben sind Eisenbahngleise. Beachte jedoch, dass mehr als zwei Geraden parallel zueinander sein können!

In Diagrammen bezeichnen wir parallele Geraden, indem wir einen oder mehrere kleine Pfeile hinzufügen. In diesem Beispiel sind a∥b∥c und d∥e. Das Symbol ∥ bedeutet einfach "ist parallel zu".

Das Gegenteil von parallel sind zwei Geraden, die sich in einem Winkel von 90° (rechter Winkel) treffen. Solche Geraden werden als Normale bezeichnet.

In diesem Beispiel würden wir a ⊥ b schreiben. Das ⊥ Symbol bedeutet einfach "ist normal auf".

Griechische Mathematiker erkannten, dass man, um formale Beweise zu schreiben, eine Art Ausgangspunkt braucht: einfache, leicht zu verstehende und für alle als wahr geltende Aussagen. Sie werden als Axiome (oder Postulate) bezeichnet.

Ein wichtiger Teil der Mathematik ist die Kombination verschiedener Axiome, um komplexere Ergebnisse unter Verwendung der Regeln der Logik zu beweisen.

Der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria, der oft als Vater der Geometrie bezeichnet wird, veröffentlichte die fünf Axiome der Geometrie:

Jedes dieser Axiome sieht ziemlich offensichtlich und selbstverständlich aus, aber zusammen bilden sie die Grundlage der Geometrie und können verwendet werden, um fast alles andere abzuleiten. Laut keinem Geringeren als Isaac Newton ist "es das Großartige an der Geometrie, dass mit so wenigen Prinzipien so viel erreicht werden kann".

Euklid veröffentlichte die fünf Axiome in seinem Buch "Elemente". Es ist das erste Beispiel eines systematischen Ansatzes in der Geschichte der Mathematik und wurde als Mathematik-Lehrbuch über Tausende von Jahren verwendet.