Glossar

Wähle eines der Schlüsselwörter auf der linken Seite…

Euklidische GeometrieEuklids Axiome

Lesezeit: ~25 min

Bevor wir irgendwelche Beweise formulieren können, müssen wir uns auf ein paar Fachausdrücke einigen, die es einfacher machen, über geometrische Objekte zu sprechen. Diese sind vielleicht nicht wirklich spannend, aber die meisten davon solltest du eh bereits kennen:

Ein Punkt ist eine bestimmte Position im Raum. Punkte beschreiben eine Position, haben aber selbst keine Größe oder Form. Sie werden mit Großbuchstaben bezeichnet.

In Mathigon zeigen große, ausgefüllte Punkte interaktive Punkte an, die du bewegen kannst, während kleinere, nicht ausgefüllte Punkte fixe Punkte anzeigen, die du nicht bewegen kannst.

Eine Gerade ist eine Ansammlung von unendlich vielen Punkten, die sich in beide Richtungen unbegrenzt erstreckt. Geraden sind immer gerade und nehmen, genau wie Punkte, keinen Platz ein - sie haben keine Breite.

Geraden werden mit Kleinbuchstaben beschriftet. Wir können sie auch mit zwei Punkten festlegen, die auf der Geraden liegen, z.B. PQ oder QP. Die Reihenfolge der Punkte spielt keine Rolle.

Eine Strecke ist der Abschnitt einer Geraden zwischen zwei Punkten, und geht in beiden Richtungen nicht unendlich weiter. Wir können sie genau wie Geraden beschriften, aber ohne Pfeilspitzen auf dem Strich darüber: AB oder BA. Auch hier spielt die Reihenfolge der Punkte keine Rolle.

Ein Strahl liegt zwischen einer Geraden und einer Strecke: er geht nur auf einer Seite unendlich weiter. Du kannst dir das wie Sonnenstrahlen vorstellen: Sie beginnen an einem Punkt (der Sonne) und gehen dann für immer weiter.

Bei der Beschriftung von Strahlen zeigt der Pfeil die Richtung an, in die er sich bis zur Unendlichkeit erstreckt, z.B. AB. Diesmal spielt die Reihenfolge der Punkte eine Rolle.

Ein Kreis ist die Ansammlung von Punkten, die alle den gleichen Abstand zu einem Punkt in der Mitte haben. Dieser Abstand wird als Radius bezeichnet.

Kongruenz

Die beiden Figuren auf der rechten Seite stimmen im Wesentlichen überein. Sie haben die gleiche Größe und Form, und wir könnten durch drehen und verschieben einen von ihnen exakt über den anderen legen. In der Geometrie sagen wir, dass die beiden Figuren kongruent oder deckungsgleich sind.

Das Symbol für Kongruenz ist . Wir würden also sagen, dass AB.

Hier sind verschiedene geometrische Objekte: verbinde alle Formen, die kongruent zueinander sind. Bedenke, dass möglicherweise mehr als zwei Formen miteinander bzw. einige auch mit keiner kongruent sind:

Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie . Zwei Winkel sind kongruent, wenn sie (in Grad).

Beachte, dass “kongruent” nicht “gleich” bedeutet. Beispielsweise müssen kongruente Geraden und Winkel nicht in die gleiche Richtung zeigen. Dennoch hat die Kongruenz viele der Eigenschaften die auch die Gleichheit hat:

  • Kongruenz ist symmetrisch: wenn XY dann gilt auch YX.
  • Kongruenz ist reflexiv: jede Form ist kongruent zu sich selbst. Zum Beispiel: AA.
  • Kongruenz ist übertragbar: wenn XY und YZ dann gilt auch XZ.

Parallele und Normale

Zwei Geraden, die sich nie schneiden, werden als Parallele bezeichnet. Sie zeigen in die gleiche Richtung, und der Abstand zwischen ihnen .

Ein gutes Beispiel für parallele Geraden im wirklichen Leben sind Eisenbahngleise. Beachte jedoch, dass mehr als zwei Geraden parallel zueinander sein können!

In Diagrammen bezeichnen wir parallele Geraden, indem wir einen oder mehrere kleine Pfeile hinzufügen. In diesem Beispiel sind abc und de. Das Symbol bedeutet einfach "ist parallel zu".

Das Gegenteil von parallel sind zwei Geraden, die sich in einem Winkel von 90° (rechter Winkel) treffen. Solche Geraden werden als Normale bezeichnet.

In diesem Beispiel würden wir a b schreiben. Das Symbol bedeutet einfach "ist normal auf".

Satz des Euklid

Griechische Mathematiker erkannten, dass man, um formale Beweise zu schreiben, eine Art Ausgangspunkt braucht: einfache, leicht zu verstehende und für alle als wahr geltende Aussagen. Sie werden als Axiome (oder Postulate) bezeichnet.

Ein wichtiger Teil der Mathematik ist die Kombination verschiedener Axiome, um komplexere Ergebnisse unter Verwendung der Regeln der Logik zu beweisen.

Der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria, der oft als Vater der Geometrie bezeichnet wird, veröffentlichte die fünf Axiome der Geometrie:

Euklid von Alexandria

Erstes Axiom
Man kann zwei beliebige Punkte mit genau einer geraden Strecke verbinden.

Zweites Axiom
Man kann jede beliebige Strecke unendlich weit
zu einer Geraden verlängern.

Drittes Axiom
Mit einem gegebenen Punkt P und einem Abstand r kann man einen Kreis mit dem Mittelpunkt P und dem Radius r zeichnen.

Viertes Axiom
Zwei beliebige rechte Winkel sind kongruent.

Fünftes Axiom
Zu einer gegebenen Geraden g und einem Punkt P nicht auf g, gibt es genau eine Gerade durch P, die parallel zu g ist.

Jedes dieser Axiome sieht ziemlich offensichtlich und selbstverständlich aus, aber zusammen bilden sie die Grundlage der Geometrie und können verwendet werden, um fast alles andere abzuleiten. Laut keinem Geringeren als Isaac Newton ist "es das Großartige an der Geometrie, dass mit so wenigen Prinzipien so viel erreicht werden kann".

Euklid veröffentlichte die fünf Axiome in seinem Buch "Elemente". Es ist das erste Beispiel eines systematischen Ansatzes in der Geschichte der Mathematik und wurde als Mathematik-Lehrbuch über Tausende von Jahren verwendet.

Einer derjenigen, die Euklids Arbeit studierten, war der amerikanische Präsident Thomas Jefferson. Als er 1776 die Unabhängigkeitserklärung schrieb, wollte er einen ähnlichen Ansatz verfolgen. Er beginnt mit einigen wenigen, einfachen "Axiomen" und "beweist" dann komplexere Ergebnisse:

“Wir halten diese Wahrheiten für ausgemacht, daß alle Menschen gleich erschaffen worden, daß sie von ihrem Schöpfer mit gewissen unveräußerlichen Rechten begabt worden, worunter sind Leben, Freyheit und das Bestreben nach Glückseligkeit.”

“Wir erklären daher … , daß diese Vereinigten Colonien Freye und Unabhängige Staaten sind, und von Rechtswegen seyn sollen.”

Dies ist nur ein Beispiel dafür, dass Euklids Ideen in der Mathematik auch auf ganz anderen Gebieten als Inspiration dienten.

Archie