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Euklidische GeometrieKonstruktion mit Zirkel und Lineal

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Du hast vielleicht bemerkt, dass die fünf Axiome von Euklid nichts über die Messung von Abständen oder Winkeln sagen, was schon immer ein wesentlicher Bestandteil der Geometrie, z.B. zur Berechnung von Flächen und Volumen, gewesen ist.

Zu Zeiten von Thales oder Euklid gab es jedoch kein allgemein angewandtes System von Einheiten, wie wir es heute haben. Abstände wurden oft mittels Körperteilen gemessen, z.B. Fingerbreiten oder Armlängen. Diese sind nicht sehr genau und sie unterscheiden sich von Mensch zu Mensch.

Um größere Entfernungen zu messen, verwendeten Architekten oder Gutachter geknotete Schnüre: lange Schnüre, die in gleichen Abständen viele Knoten enthielten. Aber diese waren auch nicht ganz genau, und verschiedene Schnüre hatten die Knoten in leicht unterschiedlichen Abständen platziert.

Griechische Mathematiker wollten sich nicht wirklich mit diesen Ungenauigkeiten befassen. Sie interessierten sich viel mehr für die zugrunde liegenden Gesetze der Geometrie als für ihre praktischen Anwendungen.

Deshalb haben sie eine viel idealisiertere Version unseres Universums entwickelt: eine, in der Punkte keine Größe und Geraden keine Breite haben können. Natürlich ist es , diese auf Papier zu zeichnen. Sichtbare Punkte nehmen immer etwas Platz ein, und Geraden haben immer eine gewisse Breite. Aus diesem Grund sind unsere Zeichnungen immer nur "Näherungen".

Die Axiome von Euklid sagen uns im Grunde, was in seiner Vorstellung von Geometrie möglich ist. Es stellt sich heraus, dass wir nur zwei sehr einfache Werkzeuge benötigen, um dies auf Papier skizzieren zu können:

Eine gerade Leiste die nichts anderes als ein Lineal ohne Zentimeterskala ist. Du kannst damit zwei Punkte verbinden (wie in Axiom 1) oder eine Strecke erweitern (wie in Axiom 2).

Mit einem Zirkel kannst du einen Kreis einer bestimmten Größe um einen Punkt zeichnen (wie in Axiom 3).

Bei den Axiomen 4 und 5 geht es darum, die Eigenschaften von Figuren zu vergleichen, anstatt etwas zu zeichnen. Daher werden dafür keine speziellen Werkzeuge benötigt.

Du kannst dir das Ganze so vorstellen, dass griechische Mathematiker über die Geometrie am Strand nachdachten und verschiedene Figuren in den Sand zeichneten: mit langen Stecken als Lineal und Schnurstücken als Zirkel.

Obwohl diese Werkzeuge sehr primitiv aussehen, kann man mit ihnen eine große Anzahl von Figuren zeichnen. Das wurde fast wie ein Quizspiel für Mathematiker: Wie kann man verschiedene geometrische Figuren nur mit einer geraden Leiste und einem Zirkel "konstruieren"?

Der griechische Mathematiker Archimedes beschäftigte sich mit Geometrie, als er von römischen Eroberern getötet wurde. Seine letzten Worte waren: "Stört meine Kreise nicht".

Zeichne ein gleichseitiges Dreieck nur mit einer geraden Leiste und einem Zirkel.

Zeichne zunächst eine Strecke an einer beliebigen Stelle im Feld rechts. Wähle das Linienwerkzeug aus und ziehe damit einfach vom Anfang bis zum Ende. Diese Strecke wird eine der Seiten des Dreiecks sein.

Zeichne anschließend zwei Kreise, die jeweils einen der Endpunkte der Strecke als Mittelpunkt haben und durch den anderen Endpunkt gehen. Wähle das Kreiswerkzeug aus und ziehe damit einfach jeweils von einem Endpunkt zum anderen.

Wir haben bereits zwei Eckpunkte des Dreiecks, und der dritte ist der Schnittpunkt der beiden Kreise. Verwende das Linienwerkzeug erneut, um die beiden fehlenden Seiten zu zeichnen und das Dreieck zu vervollständigen.

Da diese beiden Seiten und diese beiden Seiten jeweils die des gleichen Kreises sind, müssen sie die gleiche Länge haben. Mit anderen Worten, alle drei Seiten des Dreiecks sind kongruent - und damit ist es tatsächlich ein gleichseitiges Dreieck.

Mittelpunkte und Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale)

Demnächst - Konstruktion von Mittelpunkten und Mittelsenkrechten

Winkelhalbierende (Winkelsymmetrale)

Demnächst - Konstruktion von Winkelhalbierenden

Unmögliche Konstruktionen

Im folgenden Kapitel werden wir noch mehr Figuren sehen, die auf dieselbe Weise konstruiert werden können. Allerdings gibt es eine Grenze für die euklidische Geometrie: Einige Konstruktionen sind nur mit einer geraden Leiste und einem Zirkel schlicht unmöglich.

Der Legende nach war die Stadt Delos im antiken Griechenland einst mit einer schrecklichen Pest konfrontiert. Das Orakel in Delphi sagte, dass dies eine Strafe der Götter sei, und dass die Pest verschwinden würde, wenn sie einen neuen Altar für ihren Tempel bauen würden, mit genau dem doppelten Volumen des vorhandenen.

Eine Rekonstruktion eines Tempels in Delphi

Beachte, dass die Verdoppelung des Volumens nicht dasselbe ist wie die Verdoppelung der Kantenlänge des Würfels. Wenn das Volumen um den Faktor 2 zunimmt, wird die Würfelkante nämlich um den Faktor 23 vergrößert.

Das klingt immer noch ziemlich einfach, aber eine Verdoppelung eines Würfels ist in der euklidischen Geometrie unter Verwendung von nur einer geraden Leiste und einem Zirkel unmöglich! Für die Bürger von Delos bedeutete dies leider, dass alles hoffnungslos war. Es gibt zwei weitere Konstruktionen, die berümt dafür sind unmöglich zu sein. Mathematiker widmeten der Suche nach einer Lösung viel Zeit - aber ohne Erfolg:

Dreiteilung des Winkels
Wir wissen bereits, wie man Winkel halbiert. Es ist jedoch nicht möglich, einen Winkel auf ähnliche Weise in drei gleiche Teile zu teilen.

Würfelverdoppelung
Bei gegebener Würfelkantenlänge ist es unmöglich, die Kantenlänge eines anderen Würfels zu konstruieren, der genau das doppelte Volumen hat.

Quadratur des Kreises
Zu einem Kreis ist es unmöglich, ein Quadrat zu konstruieren, das genau die gleiche Fläche hat.

Beachte, dass diese Probleme alle ganz einfach durch Rechnen oder mit Linealen und Winkelmessern mit einer Skalierung gelöst werden können. Aber sie sind unmöglich, wenn man nur eine gerade Leiste und einen Zirkel benutzen darf.

Archie