Vielecke und PolyederVielecke (Polygone)

Ein Vieleck oder Polygon ist eine geschlossene, ebene Figur, die nur gerade Seiten hat. Vielecke können beliebig viele Seiten und Winkel haben, aber die Seiten dürfen nicht gebogen sein. Welche der folgenden Formen sind Vielecke?

Wir geben Vielecken unterschiedliche Namen, je nachdem, wie viele Seiten sie haben:

Dreieck
3 Seiten

Viereck
4 Seiten

Fünfeck
5 Seiten

Sechseck
6 Seiten

Siebeneck
7 Seiten

Achteck
8 Seiten

Winkel in Vielecken

Jedes Vieleck mit n Seiten hat auch n Innenwinkel. Wir wissen bereits, dass die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck immer ° beträgt, aber wie ist das bei anderen Vielecken?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

Es sieht so aus, als ob die Summe der Innenwinkel in einem Viereck immer ° beträgt- genau der Summe der Winkel in einem Dreieck. Das ist kein Zufall: Jedes Viereck kann in zwei Dreiecke geteilt werden.

Das Gleiche gilt auch für größere Vielecke. Wir können ein Fünfeck in Dreiecke aufteilen, so dass seine Innenwinkelsumme 3×180°= ° beträgt. Und wir können ein Sechseck in Dreiecke aufteilen , so dass seine Innenwinkelsumme 4×180°= ° beträgt.

Ein Vieleck mit ${x} Seiten hat also eine Innenwinkelsumme von 180° × ${x-2} = ${(x-2)*180}°. Generell kann ein Vieleck mit n Seiten in Dreiecke unterteilt werden. Daher ist die

Summe der Innenwinkel in einem n-eck =n−2×180°.

Konvexe und nichtkonvexe (konkave) Vielecke

Wir sagen, dass ein Vieleck (Polygon) konkav ist, wenn es einen Abschnitt hat, der "nach innen zeigt"[__. Vielecke, die nicht konkav sind, werden als konvex bezeichnet.

Es gibt zwei Möglichkeiten, konkave Vielecke leicht zu identifizieren: Sie haben mindestens einen Innenwinkel, der größer als 180° ist. Sie haben außerdem mindestens eine Diagonale, die außerhalb des Vielecks liegt.

Bei konvexen Vielecken hingegen sind alle Innenwinkel kleiner als °, und alle Diagonalen liegen des Vielecks.

Welche dieser Vielecke sind konkav?

Regelmäßige Vielecke

Wir sagen, dass ein Vieleck regelmäßig ist, wenn alle seine Seiten die gleiche Länge und alle Winkel die gleiche Größe haben. Welche dieser Figuren sind regelmäßige Vielecke?

Regelmäßige Vielecke können in vielen verschiedenen Größen auftreten - aber alle regelmäßigen Vielecke mit der gleichen Anzahl von Seiten

Wir kennen bereits die Innenwinkelsumme von Vielecken. Für regelmäßige Vielecke gilt, dass alle diese Winkel sind, so dass wir die Größe eines einzelnen Innenwinkels berechnen können:

Winkel = = 180°×x−2x=180°−360°x.

Wenn n=3 ist, erhalten wir die Größe der Innenwinkel eines gleichseitigen Dreiecks - wir wissen bereits, dass ° herauskommen muss. In einem regelmäßigen Vieleck mit ${x} Seiten ist jeder Innenwinkel 180° - 360°${x} = ${Math.round(180-360/x)}°.

Die Fläche eines regelmäßigen Vielecks

Hier siehst du ein regelmäßiges Vieleck mit ${n} Seiten. Jede Seite hat eine Länge von 1m. Wir wollen nun versuchen, seine Fläche zu berechnen!

Zuerst können wir das Vieleck in ${n} kongruente, Dreiecke aufteilen.

Wir kennen bereits die dieser Dreiecke, aber wir brauchen auch die , um ihre Fläche berechnen zu können. In regelmäßigen Vielecken wird diese Höhe manchmal als Apothema bezeichnet.

Beachte, dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, das aus dem Apothema und der Hälfte der Basis des gleichschenkligen Dreiecks gebildet wird. Das bedeutet, dass wir die Trigonometrie nutzen können!

Die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks (nennen wir sie α) sind groß wie der Innenwinkel des Vielecks:

α=12180°−360°${n}=${round(90-180/n,2)}

Um das Apothema zu finden, können wir die Definition der funktion verwenden:

tanα=GegenkatheteAnkathete=

⇒Apothema=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

Die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks ist somit

12Basis×Höhe=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Das Vieleck besteht aus ${n} dieser gleichschenkligen Dreiecke, die alle die gleiche Fläche haben. Die Gesamtfläche des Vielecks beträgt daher

A=${n}×${round(Math.tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

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Glossar

Vielecke und PolyederVielecke (Polygone)

Winkel in Vielecken

Konvexe und nichtkonvexe (konkave) Vielecke

Regelmäßige Vielecke

Die Fläche eines regelmäßigen Vielecks