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Tiếng ViệtVielecke und PolyederVierecke
Im vorherigen Kurs haben wir viele verschiedene Eigenschaften von Dreiecken untersucht. Wir wollen jetzt die Vierecke genauer betrachten.
Ein regelmäßiges Viereck wird als
Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleichen Seiten und vier gleichen Winkeln.
Für etwas "weniger regelmäßige" Vierecke haben wir zwei Möglichkeiten. Wenn wir nur wollen , dass die Winkel gleich sind, erhalten wir ein
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier gleichen Winkeln.
Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleichen Seiten.
Es gibt noch ein paar andere Vierecke, die noch etwas weniger regelmäßig sind, aber dennoch bestimmte wichtige Eigenschaften haben :
Wenn beide Paare der gegenüberliegenden Seiten
Wenn zwei Paare benachbarter Seiten die gleiche Länge haben, bekommen wir ein Deltoid.
Wenn nur ein Paar der gegenüberliegenden Seiten parallel ist, erhalten wir ein Trapez.
Vierecke können in mehrere dieser Kategorien fallen. Wir können die Hierarchie der verschiedenen Arten von Vierecken in einem
Zum Beispiel ist jedes Rechteck auch
Um Unklarheiten zu vermeiden, verwenden wir in der Regel nur den spezifischsten Typ.
Wähle nun vier Punkte, irgendwo im grauen Feld. Wir können sie alle zu einem Viereck verbinden.
Wir wollen jetzt den Mittelpunkt jeder der vier Seiten bestimmen. Wenn wir die Mittelpunkte verbinden, erhalten wir ein weiteres
Versuche, die Ecken des äußeren Vierecks zu verschieben und beobachte dabei, was mit dem kleineren passiert. Es sieht so aus, als wäre es nicht irgendein Viereck, sondern immer ein
Aber warum ist das so? Warum sollte das Ergebnis für jedes Viereck immer ein Parallelogramm sein? Um eine Erklärung dafür zu finden, müssen wir eine der
Die Diagonale teilt das Viereck in zwei Dreiecke auf. Wie du jetzt erkennen kannst sind zwei der Seiten des inneren Vierecks eigentlich
Im vorherigen Kurs haben wir gezeigt , dass die
Genauso können wir mit der zweiten Diagonale des Vierecks verfahren, um zu zeigen, dass beide Paare von gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Und das ist alles was wir für den Beweis, dass das innere Viereck ein
Parallelogramme
Es stellt sich heraus, dass Parallelogramme viele andere interessante Eigenschaften haben, außer dass die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Welche der folgenden sechs Aussagen sind wahr?
Natürlich reicht es nicht aus, diese Eigenschaften nur zu "beobachten". Um sicher zu sein, dass sie immer wahr sind, müssen wir sie beweisen:
Gegenüberliegende Seiten und Winkel
Versuchen wir also zu beweisen, dass die gegenüberliegenden Seiten und Winkel in einem Parallelogramm immer deckungsgleich sind.
Zeichne zunächst eine der Diagonalen des Parallelogramms.
Die Diagonale erzeugt vier neue Winkel mit den Seiten des Parallelogramms. Die beiden roten Winkel und die beiden blauen Winkel sind
Wenn wir uns nun die beiden durch die Diagonale erzeugten Dreiecke ansehen, sehen wir, dass sie zwei kongruente Winkel und eine kongruente Seite haben. Nach dem
Das bedeutet, dass auch die anderen entsprechenden Teile der Dreiecke kongruent sein müssen: Insbesondere sind beide Paare von gegenüberliegenden Seiten und beide Paare von gegenüberliegenden Winkeln kongruent.
Es stellt sich heraus, dass das auch umgekehrt wahr ist: Wenn beide Paare von gegenüberliegenden Seiten (oder Winkeln) in einem Viereck deckungsgleich sind, dann muss das Viereck ein Parallelogramm sein.
Diagonalen
Beweise jetzt, dass sich die beiden Diagonalen in einem Parallelogramm gegenseitig halbieren.
Überlegungen zu den beiden gelben Dreiecken, die durch die Diagonalen erzeugt werden:
- Wir haben gerade erst bewiesen, dass die beiden grünen Seiten kongruent sind, da sie gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind.
- Die beiden roten und zwei blauen Winkel sind kongruent, da es sich um
handelt.
Nach dem
Nun können wir die Tatsache nutzen, dass die einander entsprechenden Teile kongruenter Dreiecke auch kongruent sind, um zu dem Schluss zu kommen, dass
Wie zuvor ist auch hier der Umkehrschluss richtig: Wenn sich die beiden Diagonalen eines Vierecks gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.
Deltoide (Drachenviereck)
Wir haben oben gezeigt, dass die beiden Paare der
Der Name Drachenviereck geht eindeutig auf seine Form zurück: Ein Deltoid sieht aus wie die Drachen, die man am Himmel fliegen lassen kann. Von allen speziellen Vierecken, die wir bisher gesehen haben, ist das Deltoid jedoch das einzige, das auch
Ein konvexes Deltoid
Ein konkaves Deltoid, das wie ein Pfeil aussieht
Du hast vielleicht bemerkt, dass alle Deltoide
Die Diagonale teilt das Deltoid in zwei kongruente Dreiecke auf. Wir wissen aufgrund des
Unser "
Das bedeutet z.B., dass die Diagonale eine
Wir können noch weiter gehen: Wenn wir die andere Diagonale zeichnen, erhalten wir zwei weitere, kleinere Dreiecke. Diese müssen aufgrund des
Das bedeutet, dass der Winkel α auch derselbe sein muss wie der Winkel β. Da sie nebeneinander liegen, und
Mit anderen Worten, die Diagonalen eines Drachens sind immer
Fläche von Vierecken
Bei der Berechnung der Fläche von Dreiecken im vorherigen Kurs haben wir den Trick benutzt, sie in ein
Parallelogramm
Versuche entlang der Kästchen, ein Rechteck zu zeichnen, das die gleiche Fläche wie das Parallelogramm hat.
Kannst du sehen, dass das fehlende Dreieck auf der linken Seite
Fläche = Grundseite × Höhe
Sei vorsichtig bei der Messung der Höhe eines Parallelogramms: Es ist in der Regel nicht gleich lang wie eine der beiden Seiten.
Trapez
Erinnere dich daran, dass Trapeze Vierecke mit einem Paar paralleler Seiten sind. Diese parallelen Seiten werden als Grundseiten des Trapezes bezeichnet.
Versuche wie zuvor, ein Rechteck zu zeichnen, das die gleiche Fläche wie das Trapez hat. Kannst du sehen, wie sich die fehlenden und hinzugefügten Dreiecke links und rechts aufheben?
Die Höhe dieses Rechtecks entspricht
Die Breite des Rechtecks ist der Abstand zwischen den
Wie bei
Wenn wir all das zusammenfügen, erhalten wir eine Gleichung für die Fläche eines Trapezes mit den parallelen Seiten a und c, und der Höhe h:
Deltoid
Bei diesem Deltoid bilden die beiden Diagonalen die Breite und Höhe eines großen Rechtecks, das das Deltoid umgibt.
Die Fläche dieses Rechtecks ist
Das bedeutet, dass die Fläche eines Deltoids mit den Diagonalen d1 und d2 sich folgendermaßen berechnen lässt:
Fläche =
Raute
Eine
Das bedeutet, dass wir zur Bestimmung der Fläche einer Raute entweder die Gleichung für die Fläche eines Parallelogramms oder die Gleichung für die Fläche eines Deltoids verwenden können:
Fläche = Grundseite × Höhe =
Je nachdem werden also verschiedene Teile einer Raute (Seiten, Höhe, Diagonalen) gegeben sein, und solltest dann die Formel wählen, die am besten geeignet ist.