Vielecke und PolyederPlatonische Körper

Zu Beginn dieses Kurses haben wir regelmäßige Vielecke als besonders "symmetrische" Vielecke definiert, bei denen alle Seiten und Winkel gleich sind. Wir können etwas Ähnliches für Polyeder tun.

In einem regelmäßigen Polyeder sind alle Flächen regelmäßige Vielecke von derselben Art und an jeder Ecke trifft die gleiche Anzahl von Flächen aufeinander. Polyeder mit diesen beiden Eigenschaften werden als platonische Körper bezeichnet, benannt nach dem griechischen Philosophen Platon.

Wie sehen also die platonischen Körper aus - und wie viele von ihnen gibt es? Um eine dreidimensionale Form zu erhalten, benötigen wir mindestens Flächen, die sich an jeder Ecke treffen. Beginnen wir systematisch mit dem kleinsten regelmäßigen Vieleck: gleichseitige Dreiecke:

Und sieben oder mehr Dreiecke an jeder Ecke produzieren auch keine neuen Polyeder: Es gibt für so viele Dreiecke nicht genug Platz um eine Ecke herum.

Das bedeutet, dass wir platonische Körper gefunden haben, die aus Dreiecken bestehen. Kommen wir zum nächsten regelmäßigen Vieleck: Quadrate.

Als nächstes versuchen wir es mit regelmäßigen Fünfecken (Pentagon):

Wenn Fünfecke an jeder Ecke zusammentreffen, erhalten wir ein Dodekaeder. Es hat Flächen. ("Dodeca" bedeutet auf Griechisch "zwölf".)

Das nächste regelmäßige Vieleck, das wir untersuchen wollen ist das Sechseck (Hexagon):

Wenn an jeder Ecke drei Sechsecke zusammentreffen, erhalten wir sofort eine Parkettierungein Polyederein Hexaeder. Da es keinen Platz für mehr als drei gibt, scheint es keine platonischen Körper aus Sechsecken zu geben.

Dasselbe gilt auch für alle regelmäßigen Vielecke mit mehr als sechs Seiten. Sie lassen sich nicht zu einer Parkettierung zusammenfügen und man erhält schon gar keine dreidimensionalen Vielecke.

Das bedeutet, dass es nur platonische Körper gibt! Schauen wir uns alle auf einmal an:

Beachte, dass die Anzahl der Flächen und Ecken bei Würfeln und Oktaedern sowie bei Dodekaedern und Ikosaedern vertauscht wirdgleich ist, während die Anzahl der Kanten bei beiden gleich bleibtunterschiedlich ist. Diese Paare platonischer Körper werden als duale Körper bezeichnet.

Wir können ein Polyeder in sein Dual verwandeln, indem wir jede Fläche durch eine Ecke und jede Ecke durch eine Fläche "ersetzen". Diese Animationen zeigen, wie das abläuft:

Das Tetraeder ist dual mit sich selbst. Da es die gleiche Anzahl von Flächen und Eckpunkten hat, würde das Austauschen nichts ändern.

Platon glaubte, dass die ganze Materie im Universum aus vier Elementen besteht: Luft, Erde, Wasser und Feuer. Er dachte, dass jedes Element einem der platonischen Körper entspricht, während das fünfte das Universum als Ganzes darstellen würde. Heute wissen wir, dass es mehr als 100 verschiedene Elemente gibt, die aus kugeligen Atomen und nicht aus Polyedern bestehen.

Bilder aus Johannes Keplers Buch "Harmonices Mundi" (1619)

Archimedische Körper

Platonische Körper sind besonders wichtige Polyeder, aber es gibt unzählige andere.

Archimedische Körper zum Beispiel müssen auch aus regelmäßigen Vielecken bestehen, aber man kann dabei mehrere unterschiedliche Arten verwenden. Sie sind nach einem anderen griechischen Mathematiker, Archimedes von Syrakus, benannt, und es gibt 13 von ihnen:

Anwendungen

Platon hatte Unrecht, als er glaubte, dass alle Elemente aus platonischen Körpern bestehen. Aber regelmäßige Polyeder haben viele besondere Eigenschaften, die an anderer Stelle in der Natur zum Vorschein kommen - und wir können diese Eigenschaften in Wissenschaft und Technik kopieren.