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WahrscheinlichkeitEinführung

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Wahrscheinlichkeiten und Prognosen findet sich überall in unserem Alltag, von der Wettervorhersage bis hin zu Spielen, Versicherungen oder Wahlumfragen. In der Geschichte der Mathematik ist die Vorstellung von Wahrscheinlichkeiten aber noch relativ neu. Während die Zahlen und die Geometrie bereits vor mehr als 2500 Jahren von altgriechischen Mathematikern studiert wurden, entstanden die Grundlagen der Wahrscheinlichkeit erst im 17. und 18. Jahrhundert.

Der Legende nach trafen sich zwei der größten Mathematiker, Blaise Pascal und Pierre de Fermat, regelmäßig in einem kleinen Café in Paris.

Zur Ablenkung von den schwierigen mathematischen Theorien, die sie diskutierten, spielten sie oft ein einfaches Spiel: Sie warfen wiederholt eine Münze - jedes Mal Kopf war ein Punkt für Pascal und jedes Mal Zahl war ein Punkt für Fermat. Wer nach drei Münzwürfen weniger Punkte hatte, musste die Rechnung bezahlen.

Eines Tages wurden sie jedoch nach dem ersten Münzwurf unterbrochen, und Fermat musste dringend abreisen. Später fragten sie sich, wer die Rechnung bezahlen sollte, oder ob es eine faire Möglichkeit gäbe, den Betrag aufzuteilen. Die erste Münze hatte Kopf ergeben (ein Punkt für Pascal), also sollte vielleicht Fermat alles bezahlen. Es bestand jedoch eine kleine Chance, dass Fermat noch hätte gewinnen können, wenn Zahl gewesen wäre(n).

Pascal und Fermat beschlossen, alle Möglichkeiten aufzuschreiben, wie das Spiel hätte weitergehen können:

HHH

Pascal gewinnt

HHT

Pascal gewinnt

HTH

Pascal gewinnt

HTT

Fermat gewinnt

Alle vier möglichen Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich, und Pascal gewinnt in davon. So beschlossen sie, dass Fermat 3/4 und Pascal 1/4 der Rechnung bezahlen sollte.

Pascal und Fermat hatten die erste wichtige Wahrscheinlichkeitsgleichung entdeckt: Wenn ein Experiment mehrere mögliche Ergebnisse hat, die alle gleich wahrscheinlich sind, dann gilt

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = Anzahl der Möglichkeiten, wie das Ereignis stattfinden könnteGesamtzahl der möglichen Ergebnisse.

In unserem Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Pascal das Spiel gewinnt, 34=0.75, und die Wahrscheinlichkeit, dass Fermat das Spiel gewinnt, 14=0.25.

Was sind Wahrscheinlichkeiten

Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die die Chancen dafür beschreibt, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet, dass etwas unmöglich ist; eine Wahrscheinlichkeit von 1 bedeutet, dass etwas ganz sicher eintritt.

Es ist zum Beispiel , dass du einem echten Drachen begegnen wirst, und es ist , dass die Sonne morgen aufgeht. Die Wahrscheinlichkeit dass ein Münzwurf Kopf ergibt ist genau .

Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 mit einem Würfel zu würfeln oder eine bestimmte Farbe aus einem Kartenspiel zu wählen, ist als 0,5 - also unwahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gute Fussballmannschaft ein Spiel gewinnt oder dass ein Zug pünktlich ankommt, ist als 0,5 - also wahrscheinlich.

DracheWürfelKartenMünzenFußballZugSonne

Ziehe nun die folgenden Ereignisse in die richtige Reihenfolge, von wahrscheinlich bis unwahrscheinlich:

Du wirfst einen Würfel game_die und er landet auf 6.
Pinguine penguin leben am Nordpol.
Im November wird es regnen rain_cloud.
Heute wird in China ein Baby geboren. baby_bottle
Du kaufst einen Lottoschein und gewinnst den Jackpot tada.
Ein neugeborenes Baby wird ein Mädchen sein girl.

Im Alltag sprechen wir oft von Wahrscheinlichkeiten und Chancen, meist ohne darüber nachzudenken. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet? Wie wahrscheinlich ist es, dass ich den Bus verpasse? Welche Chance habe ich, dieses Spiel zu gewinnen?

Das Werfen einer (fairen) Münze hat zwei mögliche Ergebnisse, Kopf und Zahl, die beide gleich wahrscheinlich sind. Nach der obigen Gleichung muss die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Münze auf Kopf landet 12 = 0,5 oder 50% betragen.

Beachte, dass diese Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt, auch wenn nur eines der Ergebnisse tatsächlich eintreten kann. Aber Wahrscheinlichkeiten haben sehr wenig mit den tatsächlichen Ergebnissen zu tun: Wenn wir eine Münze viele Male werfen, wissen wir, dass Ergebnisse Kopf lauten werden - aber wir haben keine Möglichkeit, vorherzusagen, welche Würfe genau auf Kopf landen.

Selbst Ereignisse mit verschwindend kleinen Wahrscheinlichkeiten (wie z.B. ein Lottogewinn tada) können dennoch eintreten - und sie treten ein - andauernd, aber eben nur für sehr wenige Teilnehmer.

Die Wahrscheinlichkeiten hängen auch davon ab, wie viel jeder von uns über das Ereignis weiß. Zum Beispiel könnten wir schätzen, dass die Regenwahrscheinlichkeit heute etwa 70% beträgt, während ein Meteorologe mit detaillierten Wetterdaten sagen könnte, dass die Regenwahrscheinlichkeit 64,2% beträgt.

Oder nehmen wir an, ich werfe eine Münze und decke sie mit meinen Händen zu - die Wahrscheinlichkeit von Zahl liegt bei 50%. Jetzt schaue ich mir das Ergebnis an, sage es dir aber nicht. Ich weiß mit Sicherheit, was eingetreten ist, aber für dich beträgt die Wahrscheinlichkeit .

Es gibt viele verschiedene Arten, über Wahrscheinlichkeiten nachzudenken, aber in der Praxis führen sie oft zu den gleichen Ergebnissen:

klassische Wahrscheinlichkeit

Die klassische Wahrscheinlichkeit von Kopf ist der Anteil der möglichen Ergebnisse, die Kopf sind.

Häufigkeitswahrscheinlichkeit

Die Häufigkeitswahrscheinlichkeit ist der Anteil des Ereignisses Kopf, den wir erhalten, wenn wir die Münze viele Male werfen.

subjectivist probability

Die subjektivistische Wahrscheinlichkeit beruht darauf, wie stark wir glauben, dass die Münze auf Kopf landen wird.

Denke daran, dass Wahrscheinlichkeiten für Schätzungen und Vorhersagen zwar eine großartige Sache sind, wir aber nie sagen können, was tatsächlich passieren wird.

Zukunftsvorhersagen

Wenn wir einen Würfel werfen, ist das Ergebnis eine Zahl zwischen 1 und 6, und alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Wenn wir zwei Würfel auf einmal werfen und ihre Augenzahlen addieren, erhalten wir Ergebnisse im Bereich von bis . In diesem Fall sind sie jedoch nicht alle gleich wahrscheinlich.

Manche Ergebnisse können nur auf eine Weise erzielt werden (um 12 zu erhalten muss man + würfeln) während andere auf mehrere verschiedene Arten zustande kommen können (um 5 zu erhalten muss man + oder + würfeln).

Diese Tabelle zeigt alle möglichen Ergebnisse:

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

Das wahrscheinlichste Ergebnis beim Würfeln mit zwei Würfeln ist 7. Es gibt Ergebnisse, bei denen die Summe 7 beträgt, und insgesamt Ergebnisse, so dass die Wahrscheinlichkeit, eine 7 zu erhalten, 636=0,1666 beträgt.

Die unwahrscheinlichsten Ergebnisse sind 2 und 12, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 136=0,277.

Es ist unmöglich, das Ergebnis eines einzigen Münzwurfs oder eines einmaligen Würfelns vorherzusagen. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit können wir jedoch das Ergebnis vieler Würfelwürfe sehr genau vorhersagen.

Wenn wir einen Würfel 30 Mal werfen, wissen wir, dass wir etwa 16×30=5 Sechsen erhalten werden. Wenn wir 300 Mal werfen, werden es etwa 16×300=50 Sechsen sein. Diese Vorhersagen werden mit jeder Wiederholung immer genauer.

In dieser Animation kannst du viele "virtuelle" Würfel auf einmal werfen und sehen, wie die Ergebnisse im Vergleich zu den vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten ausfallen:

Würfeln

Wir werfen ${d} Würfel auf einmal und notieren die SUMME ihrer Augenzahlen. Die grünen Linien stellen die Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses dar, wie es durch die Wahrscheinlichkeitstheorie vorhergesagt wird, und die blauen Balken zeigen, wie oft jedes Ergebnis in diesem computergenerierten Experiment aufgetreten ist.

Beachte, wie die beobachteten Häufigkeiten mit zunehmende Würfen immer näher an die Häufigkeiten herankommen, die wir mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie vorhergesagt haben. Dieses Prinzip gilt für alle Wahrscheinlichkeitsexperimente und wird das Gesetz der großen Zahlen genannt.

Wenn wir die Anzahl der auf einmal gewürfelten Würfel erhöhen, kannst du auch sehen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten von einer geraden Linie (ein Würfel) zu einem Dreieck (zwei Würfel) und dann zu einer "glockenförmigen" Kurve ändern. Dies ist als Zentraler Grenzwertsatz bekannt, und die glockenförmige Kurve wird als Normalverteilung bezeichnet.